Algèbre linéaire et
vecteurs
Algèbre linéaire
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Mathématiques 3: Algèbre linéaire
Les matrices
Matrices équivalentes
1. Transformations élémentaires
On appelle transformation élémentaire sur une matrice l'une
ou l'autre des opérations suivantes:
• Permutation de deux rangées quelconques,
• Multiplication d'une rangée par un scalaire non nul,
• Addition à une rangée d'un multiple scalaire d'une autre
rangée.
2. Matrices équivalentes
Deux matrices A et B sont équivalentes si l'une
d'elles peut s'obtenir à partir de l'autre par une suite
de transformations élémentaires. On note A ~ B
3. Exemple 1
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A = |
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2 | - 1 | 2 | 3 |
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| 2 | 1 | 4 | 3 |
| 0 | 1 | - 1 | 2 |
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Les transformations succéssives suivantes : C2 + C1,
C3 - 2C1, C2 +C3 , (1/2)C2, (-1)C3, C1 - 2C2, C4 - 3C1,
C4 - 3C2 , et C4 - 2C3 conduisent à
la matrice B équivalente:
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B = |
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1 | 0 | 0 | 0 |
|
| 0 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 0 |
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4. Rang d'une matrice
Une sous-matrice d'une matrice A est une matrice
obtenue en enlevant certaines rangées, c'est à dire certaines
lignes et/ou certaines colonnes de A.
Le rang d'une matrice est l'ordre de la plus grande
sous-matrice carrée dont le determinant est non nul.
Example
La matrice d'ordre 3 x 4 suivante:
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A = |
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2 | 1 | 4 | 6 |
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| 1 | 0 | 2 | 3 |
| 3 | 2 | -1 | 2 |
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donne, en enlevant par exemple le dernière colonne,
la sous-matrice carrée 3 x 3 , la plus grande, de déterminant = 7,
non nul, suivante:
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2 | 1 | 4 |
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| 1 | 0 | 2 |
| 3 | 2 | -1 |
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Le rang de la matrice A est donc égal à 3.
Rang de A = r(A) = 3
5. Forme normale d'une matrice
Au moyen de transformations élémentaires, toute matrice A
de rang r, peut être réduite à une matrice contenant une
sous-matrice identité Ir d'ordre r et des zéros , dite
forme normale de la matrice A.
• Exemple 1:
Nous avons vu dans l'exaple 1, la matrice
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A = |
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1 | -1 | 2 | 3 |
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| 2 | 1 | 4 | 3 |
| 0 | 1 | -1 | 2 |
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s'est transformée en
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B = |
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1 | 0 | 0 | 0 |
|
| 0 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 0 |
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Qui est la forme normale de A . On en déduit que A est de rang 3.
• Exemple 2:
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La matrice A = |
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1 | 3 | -1 | 2 |
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| 2 | 4 | 1 | 5 |
| 3 | 1 | 0 | 2 |
| 5 | 7 | -2 | 6 |
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avec les transformations élémentaires suivantes :
L1 + L2, L4 + 2L2, L1 - L3, L4 - 3L3, L4 - 2L1, L2 - L1,
5L3, L3 - 2L1, 7L2 , -2L3, L2 + L3,
(1/5) C4, C2 - 6C4, (1/7)C3, C1 + 16C3, (1/14)C2, C1 + 30C2,
permuations C1:C4 et C2:C3, donne:
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B = |
|
1 | 0 | 0 | 0 |
|
| 0 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
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Qui est la forme normale de A . On en déduit que A est de rang 3.
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