Mathématiques 4:
Algorithmique
Recherche par dichotomie

Encadrement d'une solution par dichotomie
Principe et exemple 3

Il s'agit d'un autre algorithme que celui utilisé pour l'exemple 2 .

Nous allons, en s'inspirant d'une exemple, chercher et trouver la solution d'une équation de façon approximative, selon la précision voulue, en utilisant la méthode de la recherche par dichotomie.

Soit la fonction f définie par f (x) = x ln(x) - k

L'objectif est de déterminer, sur l'intervalle [2 ; 3], un encadrement de la solution a de l'équation f (x) = 0 avec une précision p choisie.

Dans ce qui suit , on prend k = 2

Sur l'intervalle [2 ; 3], la fonction f est strictement croissante et l'équation f (x) = 0 admet une solution unique.

Le principe, appelé dichotomie, est le suivant :

• On calcule l'image du centre de l'intervalle [2 ; 3] : Le centre de l'intervalle est 2.5 et f (2.5) = 0.291, > 0 . Donc solution < 2.5.

• On poursuit donc la recherche de a sur l'intervalle [2 ; 2.5].

• On calcule l'image du centre de l'intervalle [2 ; 2.5] : Le centre de l'intervalle est 2.25 et f (2.25) = - 1.80 < 0 . Donc a > 2.25.

• On poursuit donc la recherche de a sur l'intervalle [2.25 ; 2.5]. On répète le processus tant que l’amplitude de l’intervalle est supérieure à la précision choisie

Exemple: