Astronomie:
Compléments de Mathématiques
Mouvements d'un point matériel soumis
à une force centrale

1. Équation du mouvement d'un point
matériel soumis à une force centrale

L'expression générale d'ne force centrale est:

\begin{equation} \Large{ \vec{\mathbf{F}} = \frac{K}{r^2}\vec{\mathbf{u_r}}} \end{equation}

Si K < 0, la force est attractive.
Si K > 0, la force est répulsive.

L’énergie mécanique du point matériel soumis à une forec attractive est: \begin{equation} E_\mathrm{M} = \frac{1}{2}m\overset{\centerdot}{r}^2 + E_{\mathrm{Peff}}(r) \end{equation}

L’énergie cinétique radiale \( \frac{1}{2}m\overset{\centerdot}{r}^2\) est toujours positive.

Si K > 0, l’énergie effective est positive et l'énergie mécanique est positive aussi.

Si K < 0, on aura deux cas de figure:

1. \(\dfrac{K}{r} \; \lt \; \dfrac{mC^2}{2r^2} \)
l’énergie effective est positive et l'énergie mécanique est positive aussi.

2. \(\dfrac{K}{r} \; \gt \; \dfrac{mC^2}{2r^2} \)
l’énergie effective \(\mathrm{Peff} \) est négative.

2.1. Si \(\frac{1}{2}m\overset{\centerdot}{r}^2 \; \gt \; \mathrm{Peff} \) l'énergie mécanique est positive.
2.2. Si \(\frac{1}{2}m\overset{\centerdot}{r}^2 \; \lt \; \mathrm{Peff} \) l'énergie mécanique est négative.

Ainsi, le signe de K, et l’énergie potentielle effective, permettent étudier deux cas possibles du mouvement du point matériel soumis à une force centrale.

Étant donné que l’énergie cinétique radiale est toujours positive, le mouvement du point matériel n'a lieu que si \(\color{red}{E_\mathrm{M} \geq E_{\mathrm{Peff}}}\).

\begin{equation}E_\mathrm{M} = E_{\mathrm{Peff}} \Longleftrightarrow E_\mathrm{M} - \dfrac{mC^2}{2r^2} - \dfrac{K}{r} = 0\end{equation}

Ce qui équivaut à l’équation du second degré suivante :

\begin{equation}E_\mathrm{M}\,r^2 - K\,r - \dfrac{mC^2}{2} = 0\end{equation}

Le discriminent de cette équation est:

\begin{equation}\Delta = K^2 + 2E_{\mathrm{M}} m C^2 \end{equation}

qui est positif. Il y a donc toujours des solutions.

Les racines de cette équations sont donc :

\begin{equation}r_{\mathrm{min}} = \frac{K + \sqrt{\Delta}}{2E_\mathrm{M}} \;\; \text{ et } \;\; r_{\mathrm{max}} = \frac{K - \sqrt{\Delta}}{2E_\mathrm{M}} \end{equation}

2. Cas d’une force répulsive (\(K>0\))

L’énergie effective est positive et l'énergie mécanique est positive aussi.

Le mouvement se fait entre \(r_{\mathrm{mino}}\) et l’\(\infty\). Il présente un état de diffusion (qui rebondit).

le mouvement est parabolique.

\begin{equation}\color {green}{r_{\mathrm{mino}} = \dfrac{1}{2E_\mathrm{M}}\left(K+\sqrt{K^2+2mC^2E_\mathrm{M}}\right)}\end{equation}

3. Cas d’une force attractive (\(K<0\))

• Si \(E_\mathrm{M} > 0\), le mouvement possible se fait entre \(\mathrm{o}\) et l’\(\infty\). C'est encore un état de diffusion (qui contourne) .

• Si \(E_\mathrm{M} <0\), le mouvement est borné entre \(r_{\mathrm{min}}\) et \(r_{\mathrm{max}}\). Il présente un état lié. le mouvement est elliptique.
  

  Dans le cas particulier où l’équation précédente admet une solution double (discriminant nul), l’état est reste lié, avec un \(r = r_c = \mathrm{cste}\) : le mouvement est circulaire autour du centre O.