Astronomie:
Compléments de Mathématiques
Trajectoire elliptique et vitesse orbitale

Études de trajectoires particulières

1. Trajectoire elliptique

Le mouvement d'un point M soumis à une force centrale sur une ellipse d'excentricité e et de demi-grand axe a est régit par la formule suivante pour une force attractive \(K < 0 \; \text{et} \; \epsilon = + 1 \) :

\(r=\dfrac{p}{1+e\,\cos \theta}\) avec

\(p = a(1 - e^2)\;= \dfrac{m\,C^2}{|K|} \quad \text{et} \; \; e = \dfrac{A\,m\,C^2}{|K|}\)

On évalue r(θ) au point P (le périhélie) et au point A (l'aphélie) . On obtient :

Au point P: \(r_p = r(\theta = 0 ) = r(0) = \dfrac{p}{1 + e}\).

Au point A: \(r_a = r(\theta = \pi ) = r(\pi) = \dfrac{p}{1 - e}\).

On obtient:
\begin{equation}\dfrac{p}{1 - e} + \dfrac{p}{1 + e} = 2 a \end{equation}

2. l’énergie mécanique

On sait que l'énergie mécanique du point M soumis à une force attractive est:

\begin{equation}E_\mathrm{m} = E_\mathrm{C} + E_\mathrm{P} = \dfrac{1}{2}\,m\,\overset{\centerdot}{r}^2 + \dfrac{m\,C^2}{2\,r^2} + \dfrac{K}{r} \end{equation}

\begin{equation}E_\mathrm{m}= \dfrac{m\,C^2}{2\,r^4}\left(\dfrac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}\theta}\right)^2 + \dfrac{m\,C^2}{2\,r^2} + \dfrac{K}{r}\end{equation}

Nous avons : \(\dfrac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}\theta} = \dfrac{\mathrm{p\;e\;sin\theta}}{(1 + e cos\theta)^2}\)

L'énergie mécanique étant constante, on l'évalue donc au point P (θ = 0).On a donc \(\dfrac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}\theta} = 0 \)

Il reste:

\begin{equation}E_\mathrm{m} = \dfrac{m\,C^2}{2\,r^2} + \dfrac{K}{r}\end{equation}

On a:
\begin{equation} p = \dfrac{m\,C^2}{|K|} \;\; \text{d'où} \;\; E_\mathrm{m} = \dfrac{p\,|K|}{2\,r^2} + \dfrac{K}{r} \end{equation}

Pour une force attractive K < 0. On aura

\begin{equation}E_\mathrm{m} = \dfrac{p\,|K|}{2\,r^2} - \dfrac{|K|}{r} = \dfrac{|K|}{r}(\dfrac{p}{2r} - 1) \end{equation}

L'énergie mécanique étant constante, on l'évalue donc au point P (θ = 0), avec \begin{equation}r_p = \dfrac{p}{1 + e} \\ \text{On saite que} \; a = \dfrac{p}{1-e^2}\;\; \text{, on obtient donc } : \\ E_\mathrm{m} = \dfrac{|K|}{r}(\dfrac{p}{2r_p} - 1) = \dfrac{|K|}{2a} = \dfrac{K}{2a} \end{equation}

\begin{equation} E_\mathrm{m} = \dfrac{K}{2a} \end{equation}

Dans une trajectoire elliptique, l'énergie mécanique ne dépend que du demi grand-axe de l'ellipse.

3. Vitesse du point matériel sur sa trajectoire elliptique

L’énergie mécanique s'ecrit:

\begin{equation}\frac{1}{2}\,m\, v^2 + \dfrac{K}{r} = \dfrac{K}{2a}\end{equation}

\begin{equation} \text{Avec } \; \; K = \dfrac{G\;m\;m_o}{r^2} \end{equation} On en déduit:

\begin{align} v &= \sqrt{\dfrac{K}{m}\left(\dfrac{1}{a}-\dfrac{2}{r}\right)} & = \sqrt{G\,m_O\,\left(\dfrac{2}{r}-\dfrac{1}{a}\right)} & = \sqrt{G\,m_O\,\left(\dfrac{2a-r}{a\,r}\right)} \\ \end{align}

Au périhélie :

\begin{equation} v_P = \sqrt{G\,m_O \,\dfrac{2a-r_P}{a\,r_P} } \end{equation}

À l'aphélie :

\begin{equation} v_A = \sqrt{G\,m_O \, \dfrac{2a-r_A}{a\,r_A}} \end{equation}

La vitesse devient grande lorsque le rayon devient petit.