Sciences Physiques
Les orbites des satellites

1. Trajectoires des stallites

L’énergie mécanique E d’un satellite en orbite elliptique terrestreest :

E = – m.M.G / 2a = (1/2) mv² – m.M.G /r       (1)

avec :

• m = masse du satellite
• G = constante de gravitation
= G = 6,674 x 10^-11 N.m².kg^{- 2} = 6.674 x 10^{- 11} m³.kg^{- 1}.s^{- 2}.
• M = masse de la Terre = 5,972 x 10²⁴ kg
• v = vitesse du satellite sur l’orbite
• r = distance satellite–centre Terre
• 2a = longueur du grand axe de l’ellipse

- Ec = (1/2) mv² est l’énergie cinétique du satellite,
- Ep = – m.M.G/r est l’énergie potentielle du satellite.

L'energie totale s'ecrit donc:

– m.M.G / 2a = (1/2) mv² – m.M.G /r

On simplification par m, ce qui montre l’indépendance de ce paramètre relativement à la vitesse. On obtient:

– M.G / 2a = (1/2) v² – M.G /r       (2)

2. Vitesse d’injection pour une orbite circulaire

L'énergie totale du satellite est constante. À une distance constante r, du centre de la Terre, l'énergie potentielle est constante; ainsi l'énergie cinétique, et donc l vitesse du satellite est constante. Cette vitesse d'injection doit être orthogonale au rayon vecteur.

Dans ce cas, l'orbite est circulaire. La vitesse d’injection sur cette orbite circulaire s'obtient far la relation précédente avec a = r :

– M.G /2r = (1/2) v² – M.G /r

M.G /r – M.G /2r = (1/2) v²

v² = M.G /r

D'où:

v = √(M.G/r)       (3)

Le rayon de l'orbite circulaire est:

- Pour une altitude de 0 km, r = 6 378 000 m.

v = √(5,972 x 10²⁴ x 6.674 x 10^{- 11}/6 378 000)
= 7 905 m/s, impossible à réaliser pour un corps matériel.

- Pour une altitude de 800 km (altitude d'un satellite LEO), on a :

r = 800 000 + 6 378 000 = 7 178 000 m.

v = √(5,972 x 10²⁴ x 6.674 x 10^{- 11}/7 178 000) = 7 450 m/s.

L'orbite terrestre basse, ou LEO (Low Earth orbit) peut aller jusqu'à 2 000 kilomètres d'altitude. On y trouve des satellites de télédétection, des satellites de télécommunications, des satellites d’observation (météorologique), ainsi que la Station spatiale internationale.

Mir était une station spatiale russe placée en orbite terrestre basse. Mise en orbite le 19 février 1986 et détruite volontairement le 23 mars 2001.

- Pour une altitude de 36 000 km (orbite GEO), on a :

r = 36 000 000 + 6 378 000 = 42 378 000 m.

v = 3 067 m/s.

La vitesse de rotation d'un point fixe sur léquateur de la terre est v = 2πr/T = 2 x π x 6 378 000 /24 x 3600 = de 465 m/s . Sa vitesse angulaire est ω = 1 révolution/jour = 2π/24 x 3600 = 7.27 x 10^{- 5} La vitesse de rotation du satellite géostationnaire autor de la terre est ω = v/r = 3 067/ 42 378 000 = 7.23 x 10^{- 5}. .

La vitesse angulaire de rotation de la terre (à l’équateur) est égale à la vitesse angulaire du satellite géostationnaire.

Autrement dit,

La vitesse angulaire de rotation de la terre sur elle-même est égale à la vitesse de rotation du satellite géostationnaire autour du cetre de la terre.

L'orbite géostationnaire GEO (geostationary orbit) est l'orbite située à 35 784 km d'altitude au-dessus de l'équateur. C'est le cas des satellites de télécommunications fixe par rapport à un point du sol.

3. Vitesse de libération d'une sonde spatiale

La vitesse de libération (ou deuxième vitesse cosmique) est la vitesse que doit avoir un objet lancé pour quitter la gravitation terrestre.

On doit donc choisir la valeur de a dans l'équation (2) voisin de l'infini. On trouve:

0 = (1/2) v² – M.G /r

Ou

(1/2) v² = M.G /r

D'où:

v = √(2.M.G/r)       (4)

Une objet peut donc se libérer de l’attraction terrestre s'il reçoit une vitesse 11,2 km/s.

Une sonde n'est satellisése; elle doit se liberer de l'attraction terrestre. Sa vitesse de libération acquise au niveau du sol où l'altitude est de 0 km, donc à r = 6 378 000 m à partir du centre de la terre est:

v = √(2 x 5,972 x 10²⁴ x 6.674 x 10^{- 11}/6 378 000)
= 11 180 m/s, impossible à réaliser pour un corps matériel.

Il faut donc la transporter sur une fusée jusqu'à une certaine altitude et puis la larger avec une certaine vitesse.

- À l'altitude de 800 km = 800 000 m, on a :
r = 800 000 + 6 378 000 = 7 178 000 m. Donc :

v = √(2 x 5,972 x 10²⁴ x 6.674 x 10^{- 11}/7 178 000)
= 10 539 m/s = 37 940 km/h.

- À l'altitude de 36 000 km = 36 000 000 m, on a :
r = 36 000 000 + 6 378 000 = 42 378 000 m. Donc :

v = √(2 x 5,972 x 10²⁴ x 6.674 x 10^{- 11}/42 378 000 )
= 10 539 m/s = 37 940 km/h.

- À l’altitude de 36000 km, on a :
r = 36 000 000 + 6 378 000 = 42 378 000 m. Donc :

v = √(2 x 5,972 x 10²⁴ x 6.674 x 10^{- 11}/42 378 000 )
= 4 337 m/s = 15 613 km/h.

- Pour une vitesse juste de 100 m/s, il faut monter la sonde à une altitude de r = 2.M.G/v² =
2 x 5,972 x 10²⁴ x 6.674 x 10^{- 11} /100²
= 8.0 x 10¹⁰ m = 8.0 x 10⁷ km !

4. Compléments:

4.1. La station spatiale internationale

La station spatiale internationale (International Space Station – ISS) a été lancée en 1998. Elle est toujours habitée. Elle mesure 108 m x 73 m x 20 m, avec une masse de 450 tonnes.

Elle est située à une altitude entre 310 et 410 km (périgée: 402 km et apogée: 424 km), soit une altitude moyenne de 350 km.

Sa vitesse sur son orbite autour de la terre est de 7 706 m/s soit 27 740 km/h, beaucoup plus grande que la vitesse de la terre sur son orbite égale à 30 km/s ( = 2 x π x distance terre-soleil/ une année = 2 x π x 149 600 000 / (365,25 x 24 x 3600) = 30 km/s).

L'orbite moyenne de la station mesure 2 x π (350 + rayon de la terre) = 2 x π (350 + 6 378 ) = 42 273 km.

La vitesse de la station de 27 740 km/h étant constante, alors le voyage sur cette circonférence de 42 273 km durera 42 273 /27 740 = 92 minutes. Soit 24 x 60/92 = 15.6 tours autour de la terre par jour.

La station spatiale internationale fait 16 tours autour de la terre chaque jour.

4.1. Les sondes Voyager

Le programme Voyager est le programme d'exploration de la NAS qui avait pour objectif l'étude des planètes du système solaire.

Voyager 1 et 2 ont été lancées à un mois d'intervalle depuis plus de trente-cinq ans. En avançant à une vitesse de 55 000 km/h, elles ont survolé Jupiter, Saturne, Uranus et Neptune.

Les neuf instruments à bord de chacune des sondes transmettent les données receuillies vers la Terre par ondes radio. Leurs caméras ont été éteintes pour économiser leur batterie au plutonium, qui, en principe, devrait s'épuiser vers l'an 2020.

La sonde Voyager 1, lancée en 1977, a quitté le système solaire . Elle se trouve actuellement à plus de 18 milliards de kilomètres du Soleil.


Voyager 1 a franchi l'héliopause vers le 25 août 2012. l'héliopause est la zone gazeuze frontalière du système solaire. Elle entre dans l'obscurité et le froid de l'espace interstellaire.

Les deux vaisseaux spaciaux transportent chacun un disque en or plaqué de cuivre de 30 centimètres de diamètre contenant 115 photographies. Ces disques contiennent aussi une variété de sons naturels et des messages dans 55 langues. Les messages du président américain et du secrétaire général de l'ONU de l'époque Jimmy Carter et Kurt Waldheim, voyagent également dans ces sondes.

Voyager 2 devrait, quant à elle, sortir du système solaire d'ici 2 ans.