Astronomie: Compléments de Mathématiques
Forces centrales
1. Forces centrales conservatives
1.1. Définitions
Une force centrale appliquée à un point M est une forve parallèle
au vecteur position du point M de centre de force O.
Cette force, indépendente du temps, ne dépend que de la distance r entre les points O et M.
Elle s'ecrit:
est le vecteur unitaire qui quitte le centre de forec O.
Une force centrale est conservative, c'est à
dire son travail ne dépend pas du chemin suivi. Elle dérive donc d’une énergie potentielle Ep.
1.2. Exemples
La force gravitationnelle (de Newton) et la force électrostatique (de Coulomb) sont des forces centrales conservatives. Elles varient toutes les deux en 1/r2.
• La force gravitationnelle est une force centrale
conservative :
avec K = - GmOmM (K < 0)
•
La force electrostatique est une force centrale
conservative :
avec
K = qOqM/4πεo
K < 0 si qO et qM sont de signes opposés
pour une force attractive.
K > 0 si qO et qM sont de même signe
pour une force répulsive.
2. L’énergie potentielle d'une force centrale
L’énergie potentielle dont dérivent ces deux forces, de Newton
et de Coulomb, est l'integrale de l'expression de la force :
∫ F dr = K/r + constante.
La constante est définie en fonction de l’origine des énergies potentielles. On choisi ue Ep(r → ∞) = 0,
de sorte que :
L'énergie potentielle d'une force centrale:
Ep = K/r
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