Astronomie:
Compléments de Mathématiques
Trajectoire elliptique et 3eme loi de Kepler
Trajectoire parabolique et vitesse de libération
1. Troisième loi de Kepler
La loi des aires s'ecrit:
\begin{equation}
\mathcal{A}(t) = \dfrac{C}{2}\times t
\end{equation}
Si la période de révolution du point M sur l'ellipse est T,
ce point M a balayé une aire égale à l'aire de l'ellipse,
soit \( \mathcal{A} = \pi\,a\,b. \;\)
Donc :
\begin{equation}
\pi\,a\,b = \dfrac{C}{2} \times T \Longleftrightarrow \dfrac{T^2}{a^2} = \dfrac{4\pi^2\,b^2}{C^2}
\end{equation}
On sait que \(b^2 = p\,a\) et que \(p=\dfrac{mC^2}{\left|K\right|}\). Il
vient donc
\begin{equation}
\dfrac{T^2}{a^2} = \dfrac{4\pi^2\,a\,m\,C^2}{|K|\,C^2} \Longleftrightarrow \dfrac{T^2}{a^3} = \dfrac{4\pi^2m}{|K|}
\end{equation}
Pour la force attractive gravitationnlle, on a \( K = - G\,m_O\,m \).
On obtient donc :
\begin{equation}\boxed{\dfrac{T^2}{a^3} = \dfrac{4\pi^2}{Gm_O}}\end{equation}
C'est l’expression de la troisième loi de Kepler.
La période de révolution elliptique ne dépend que
de la masse \(m_O\) du point attracteur qui est le centre de force
localisé au foyer de l'ellipse.
Dans le cas d'une trajectoire circulaire, on a \(a\) = \(r_0\) = rayon de la trajectoire circulaire. Cette loi de Kepler reste valable.
\begin{equation}\boxed{\dfrac{T^2}{r_0^3} = \dfrac{4\pi^2}{Gm_O}}\end{equation}
2. Trajectoire parabolique et vitesse de libération
La vitesse de libération, dans le cas d’une force Newtonienne attractive (\(K < 0\)),
est atteinte si le corps est dans un état de diffusion, donc sur une trajectoire parabolique, d'excentricité \(e = 1\).
Juste lorsque le point matériel va "s’échapper" de l'attraction
gravitationnelle du corps attracteur, son énergie mécanique est nulle
\(E_\mathrm{M} = 0\). D`où
\begin{equation}\frac{1}{2}m\,v_l^2 + \dfrac{K}{r} = 0 \Longleftrightarrow v_l=\sqrt{\dfrac{-2K}{m\,r}}\end{equation}
Dans le cas d’un satellite de masse m soumis à l'attraction gravitationnelle
terrestre, sa vitesse de libération depuis la surface de la terre est :
\begin{equation}v_l=\sqrt{\dfrac{2\,G\,m_T\,m}{m\,R_T}} = \sqrt{\dfrac{2\,G\,m_T}{R_T}} = 11\,\mathrm{km.s^{-1}}\end{equation}
|
