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Math - Nombres Complexes
Nombres Complexes
Rappels
• Nombre complexe z = x + iy. z ∈C, x ∈R , y ∈R,
• Notation algébrique. Re(z) désigne la
partie réelle du nombre complexe z, et Im(z) sa partie imaginaire.
• Conjugué de z = Co(z) = x - iy
• i2 = 1
• L'opposé de z ; O(z) = - z
• L'inverse z -1 = Co(z)/|z|2
La forme algébrique est unique:
• Si z1 = x1 + iy1 et z2 = x2 + iy2
• z1 = z2 ⇔ x1 = x2 et y1 = y2
• z + Co(z) = 2 Re(z),
• z − Co(z) = 2 iIm(z)
• z ∈ R ⇔ z = Co(z),c’est à dire Im(z)= 0.
• z est imaginaire pur ⇔
Re(z) = 0, c’est à dire z + Co(z) = 0.
• z x Co(z) = x2 + y2 ∈ R+
• Co (z1 + z2) = Co(z1) + Co(z2)
• Co (z1 x z2) = Co(z1) x Co(z2)
• Co (z1/z2) = Co(z1)/Co(z2)
• |z| = (x2 + y2)1/2
• = |z|2 = z x Co(z)
• |z1 x z2| = |z1| x |z2|
• |z1/z2| = |z1|/|z2|
• z = r exp{iθ}: Notation exponentielle
• r = |z|, le module de z , θ son argument:
• arg(z) = θ + ekπ k ∈ Z, ou
• arg(z) = θ [2π] .
• z1 = r1 exp{iθ1}
• z2 = r2 exp{iθ2}
• z = z1 x z2 = (r1 x r2) exp{i(θ1 + θ2)}
• z = z1 / z2 = (r1/r2) exp{i(θ1 + θ2)}
• z = r exp{iθ}: Notation trigonométrique
• r le module de z , θ son argument.
• z1 = r1(cosθ1 + i sinθ1)
• z2 = r2 (cosθ2 + i sinθ2)
• z = z1 x z2 = (r1 x r2) (cos(θ1 + θ2)
+ i sin(θ1 + θ2))
• z = z1/z2 = (r1 /r2) (cos(θ1 - θ2)
+ i sin(θ1 - θ2))
• z = |z|exp{iθ}
• arg(z) = &theha;[2π]
• arg(z1 x z2) = arg(z1) + arg(z2) [2π]
• arg(zn) = n arg(z)[2π]
• arg(z1/z2) = arg(z1) - arg(z2) [2π]
Formules d’Euler). Pour tout θ ∈ R,
• cosθ = (eiθ + e- iθ)/2
• sinθ = (eiθ − eiθ)/2i
Formule de Moivre: Pour tout θ ∈ R et n ∈ Z, on a
• (eiθ)n = einθ
• (cosθ + i sinθ)n = cos nθ + isin nθ
-- Abdurrazzak Ajaja
Janvier 2025
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