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Math - Limite d'une fonction
Limite d'une fonction
Règle de l'Hôpital
Applications
Exemple 1
Soit la fonction f définie par :
f(x) = A(x)/B(x) (1)
Avec:
A(x) = x + x2 + x 3 + ... + xn - n
et
B(x) = (2 - x)n - 1
On cherche :
lim f(x)
x → 1
On a
A(1) = 1 + 1 + 1 + ... + 1 - n = n - n = 0
B(1) = 1 - 1 = 0
lim f(x) = 0/0
x → π/2n
C'est une forme indéterminée. Nous allons donc lever l'indétermination:
en appliquant la règle de l'Hôpital:
On dérive:
A'(x) = 1 + 2x + 3x2 + ... + nxn-1
B'(x) = - n(2 - x)n-1
A'(1) = 1 + 2 + 3 + ... + n = n(n + 1)/2
B'(1) = - n(2 - 1)n-1 = - n
Il vient :
lim f(x) = - (n + 1)/2
x → 1
Exemple 2
Soit la fonction f définie par :
f(x) = A(x)/B(x)
Avec:
A(x) = [(sin 2nx)/(1 + cos nx)]1/2
et
B(x) = 4 n2 x2 - π2 = (2nx - π)(2nx + π)
On cherche :
lim f(x)
x → π/2n
lim f(x) = [(sin 0)/(1 + 1)]1/2 / 0 = 0/0
x → π/2n
C'est une forme indéterminée. Nous allons donc lever l'indétermination:
en appliquant la règle de l'Hôpital:
On dérive:
A(x) = [(sin 2nx)/(1 + cos nx)]1/2
A'(x) = (1/2)[(sin 2nx)/(1 + cos nx)]- 1/2 [(sin 2nx)/(1 + cos nx)]'=
[(sin 2nx)/(1 + cos nx)]' = (2n cos 2nx (1 + cos nx) + n (sin 2nx sin nx )/(1 + cos nx)2
Donc
A'(x) = (1/2)[(sin 2nx)/(1 + cos nx)]- 1/2 (2n cos 2nx (1 + cos nx) + n (sin 2nx sin nx )/(1 + cos nx)2
= (n/2) (2 cos 2nx (1 + cos nx) + (sin 2nx sin nx)/(1 + cos nx)3/2 (sin 2nx)1/2
A'(x) = (n/2) (2 cos 2nx (1 + cos nx) + (sin 2nx sin nx)/(1 + cos nx)3/2(sin 2nx)1/2
B(x) = 4 n2 x2 - π2
B'(x) = 8 n2 x
B'(x) = 8 n2 x
Il vient donc :
Lim A'(x) = (n/2) (- 2 (1 + 0) + (0)/(1 + 0)3/2(0)1/2 = - n /0
>
x → π/2n
Lim B'(x) = (8 n2 π/2n = 4 πn
x → π/2n
Finalement,
Lim A'(x) /B'(x) = (- n /0)/4 πn = (- 1 /0)/(4 π) = -1/0 = - ∞
x → π/2n
Lim f(x) = - ∞
x → π/2n
Exemple 3
On cherche la limite de f(x) = A(x)/B(x) lorsque x tends vers zéro,
avec
A(x) = 1 - cos x . cos 2x . cos 3x . ... . cos nx
et
B(x) = x2 , B'(x) = 2x
Pour x = 0, on A(x)= 1 - 1 x 1 x 1 x ..x 1 = 1 - 1 = 0 , et B(x) = 0. Donc f(x) = A(x)/B(x) = 0/0.
C'est une forme indéterminée. Nous allons donc lever l'indétermination:
en appliquant la règle de l'Hôpital:
On dérive:
B'(x) = 2x
et
A'(x) = - ( cos x . cos 2x . cos 3x . ... . cos nx)' =
( cos x . cos 2x . cos 3x . ... . cos nx)' = cos' x . (cos 2x . cos 3x . ... . cos nx) +
( cos x . cos' 2x . cos 3x . ... . cos nx) + (cos x . cos 2x . cos' 3x . ... . cos nx) + ... +
( cos x . cos 2x . cos 3x . ... . cos' nx)
= - sin x . (cos 2x . cos 3x . ... . cos nx) +
(- 2 sin 2x . cos x . cos 3x . ... . cos nx) + (- 3 sin 3x .cos x . cos 2x . ... . cos nx) + ... +
( - n sin nx cos x . cos 2x . cos 3x . ... . cos (n-1)x) =
A'(x)/B'(x) = sin x . (cos 2x . cos 3x . ... . cos nx)/2x +
( 2 sin 2x . cos x . cos 3x . ... . cos nx)/2x + ( 3 sin 3x .cos x . cos 2x . ... . cos nx)/2x + ... +
( n sin nx cos x . cos 2x . cos 3x . ... . cos (n-1)x)/2x =
=
(1/2)(sin x/x) . (cos 2x . cos 3x . ... . cos nx) +
2 (sin 2x/2x) . cos x . cos 3x . ... . cos nx) + ( (9/2) sin 3x/3x .cos x . cos 2x . ... . cos nx)/2x + ... +
( (n2/2) sin nx/nx) cos x . cos 2x . cos 3x . ... . cos (n-1)x) =
x → 0 (sin x/x) → 1
, on a:
(1/2) . (cos 2x . cos 3x . ... . cos nx) +
2 cos x . cos 3x . ... . cos nx) + ((9/2) .cos x . cos 2x . ... . cos nx)/2x + ... +
( (n2/2) cos x . cos 2x . cos 3x . ... . cos (n-1)x) =
On fait tendre x vers 0, on obtient:
(1/2) + 2 + ((9/2) + ... + (n2/2)= (1/2) ( 1 + 4 + 9 + .... + n2) = (1/2)n(n+1)(2n+1)/6
Finalement,
lim f(x) = n(n + 1)(2n + 1)/12
x → 0
Exemple 4
Dans cet exemple, la règle de l'Hôpital n'est pas très avantageuse à cause
des longs calculs qu'elle implique.
On cherche la limite de f(x) = A(x)/B(x) lorsque x tends vers π/2,
avec
A(x) = (1 - sin x) . (1 - sin2 x) . (1 - sin3 x) ... .(1 - sinn x)
et
B(x) = cos2n x
Pour x = π/2, on A(x)= (1 - 1) x (1 - 1) x ... x (1 - 1) = 0 , et
B(x) = cos2n(π/2) = 0. Donc f(x) = A(x)/B(x) = 0/0.
C'est une forme indéterminée. Nous allons donc lever l'indétermination:
en appliquant la règle de l'Hôpital:
On applique la formule:
1- xn =
(1 - x)(1 + x + x2 + x3 + ... + xn - 1)
A(x) = (1 - sin x) . (1 - sin2 x) . (1 - sin3 x) ... .(1 - sinn x)
On dérive:
A'(x) = (1 - sin x)' . (1 - sin2 x) . (1 - sin3 x) ... .(1 - sinn x) +
(1 - sin x) . (1 - sin2 x)' . (1 - sin3 x) ... .(1 - sinn x) +
(1 - sin x) . (1 - sin2 x) . (1 - sin3 x)' ... .(1 - sinn x) + ... +
(1 - sin x) . (1 - sin2 x) . (1 - sin3 x) ... .(1 - sinn x)'
= A(x) ((1 - sin x)'/(1 - sinx) + (1 - sin2 x)'/(1 - sin2 x) +
(1 - sin3 x)'/(1 - sin3 x) + ... + /(1 - sinn x)'(1 - sinn x))
= A(x) ((- cos x)/(1 - sinx) + (- 2 sin x cos x) /(1 - sin2 x) +
(- 3 sin2 x cos x)/(1 - sin3 x) + ... + /(- n sinn-1 x cos x)(1 - sinn x))
= - A(x) cos x (1/(1 - sinx) + (2 sin x) /(1 - sin2 x) +
( 3 sin2 x )/(1 - sin3 x) + ... + /( n sinn-1 x )(1 - sinn x))
= - A(x) cos x / (1 - sin x) (1/1 + (2 sin x)/(1 + sinx) +
(3 sin2 x )/(1 + sin x + sin2 x) + ... + ( n sinn-1 x)/(1 + sin x + sin2 x + ... + sinn-1 x))
A'(x) = - A(x) cos x / (1 - sin x) (1/1 + (2 sin x)/(1 + sinx) +
(3 sin2 x )/(1 + sin x + sin2 x) + ... + ( n sinn-1 x)/(1 + sin x + sin2 x + ... + sinn-1 x))
B(x) = cos2n x
B'(x) = - 2n cos2n-1 sin x = - 2n cos2n sin x/cos x =
- 2n (1 - sin2x)n sin x/cos x = - 2n (1 - sin x)n (1 + sin x)n sin x/cos x
A'(x)/B'(x) = (A(x)/2n) cos2 x / (1 - sin x)(1 - sin x)n (1 + sin x)n sin x
. (1/1 + (2 sin x) /(1 + sinx) +
( 3 sin2 x )/(1 + sin x + sin2 x) + ... + ( n sinn-1 x)/(1 + sin x + sin2 x + ... + sinn-1 x))
A'(x)/B'(x) = (A(x)/2n) (1 + sin x)/ (1 - sin x)n (1 + sin x)n sin x
. (1/1 + (2 sin x) /(1 + sinx) +
( 3 sin2 x )/(1 + sin x + sin2 x) + ... + ( n sinn-1 x)/(1 + sin x + sin2 x + ... + sinn-1 x))
On remplace A(x) = (1 - sin x) . (1 - sin2 x) . (1 - sin3 x) ... .(1 - sinn x)
par
A(x) = (1 - sin x)n . (1) . (1 + sin x) . (1 + sin x + sin2 x) ... .(1 + sin x + sin2 x +
... + sinn-1 x)
Il vient:
A'(x)/B'(x) = ((1 - sin x)n . (1) . (1 + sin x) . (1 + sin x + sin2 x) ... .(1 + sin x + sin2 x +
... + sinn-1 x)) (1 + sin x)/ 2n (1 - sin x)n (1 + sin x)n sin x
. (1/1 + (2 sin x) /(1 + sinx) +
( 3 sin2 x )/(1 + sin x + sin2 x) + ... + ( n sinn-1 x)/(1 + sin x + sin2 x + ... + sinn-1 x))
= ( (1) . (1 + sin x) . (1 + sin x + sin2 x) ... .(1 + sin x + sin2 x +
... + sinn-1 x)) (1 + sin x)/ 2n (1 + sin x)n sin x
. (1/1 + (2 sin x) /(1 + sinx) +
(3 sin2 x )/(1 + sin x + sin2 x) + ... + ( n sinn-1 x)/(1 + sin x + sin2 x + ... + sinn-1 x))
lim A'(x)/B'(x) = 1 . 2 . 3 . ... . n = n! .2/2n . 2n . (1 + 2/2 + 3/3 + ... + n/n)
x → π/2
= n!/n . 2n . n = n! 2n
Finalement:
lim f(x) = n!/2n
x → π/2
-- Abdurrazzak Ajaja
Août 2024
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