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Baccalauréat 2
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Math - Analyse
Integration
Integration par parties
Rappels:
À partir de la formule de dérivation d'un produit de deux fonctions,
on en déduit celle de son integration:
(u v)' = (u)'v + u(v)'
ou
u (v)' = (u v)' - (u)' v
d'où :
∫ u (v)' = u v - ∫ v (u)'
Exemple:
Soit l'intégrale suivante:
In = ∫ xn (1 - x)1/2 dx
0 → 1
1. On calcule I0:
I0 = ∫ (1 - x) 1/2 dx
0 → 1
On pose:
u = 1 - x , donc du = - dx
I0 = - ∫ u 1/2 du =
1 → 0
∫ u 1/2 du = 1/(1/2 + 1)1/2 + 1
0 → 1
=
(2/3) u3/2
0 → 1
= 2/3 - 0 = 2/3
I0 = 2/3
2. On calcule I1:
I1 = ∫ x (1 - x) 1/2 dx
0 → 1
Par parties:
u = x et du = dx
dv = (1 - x) 1/2 dx ⇒ v = - (2/3) (1 - x)3/2
I1 = ∫ = uv - ∫ v du = - (2/3) x (1 - x)3/2
- ∫ - (2/3) (1 - x)3/2 dx
0 → 1
= ∫ = 0 + ∫ (2/3) (1 - x)3/2 dx
0 → 1
= ∫ = 0 + (2/3)∫ (1 - x)3/2 dx =
- (2/3) (2/5)(1 - x)5/2
0 → 1
= 0 + 4/15
I1 = 4/15
3. On veut démomtrer la formule suivante:
(2n + 5) In+1 = (2n + 2) In
On a :
In = ∫ xn (1 - x)1/2 dx
0 → 1
Donc :
In+1 = ∫ xn+1 (1 - x)1/2 dx
0 → 1
On fait leur différence:
In+1 - In =
∫ xn+1 (1 - x)1/2 dx -
xn (1 - x)1/2 dx
0 → 1
=
∫ xn (1 - x)1/2 (x - 1) dx
0 → 1
=
- ∫ xn (1 - x)3/2 dx
0 → 1
Par parties,
u = (1 - x) 3/2 ⇒ du = - (3/2) (1 - x)1/2
dv = xn dx ⇒ v = xn+1/(n + 1)
Donc:
In+1 - In =
-
(1 - x) 3/2 xn+1/(n + 1) -
∫ xn+1/(n + 1) (3/2) (1 - x)1/2 dx
0 → 1
=
0 - ∫ xn+1/(n + 1) (3/2) (1 - x) 1/2 dx
0 → 1
=
- 1/(n + 1) (3/2) ∫ xn+1(1 - x) 1/2
0 → 1
=
- 1/(n + 1) (3/2) In+1
Il vient donc:
In+1 - In = - 1/(n + 1) (3/2) In+1
In+1 + 1/(n + 1) (3/2) In+1 = In
2(n+1)In+1 + 3 In+1 = 2(n + 1)In
(2n + 2 + 3)In+1 = 2(n + 1)In
(2n + 5)In+1 = 2(n + 1)In
(2n + 5)In+1 = (2n + 2)In
On peut vérifier cette formule, pour n = 0,
avec I0 = 2/3:
(2 x 0 + 5)I0+1 = (2 x 0 + 2)I0
5 I1 = 2 I0
I1 = (2/5) I0
I1 = (2/5) (2/3) = 4/15.
-- Abdurrazzak Ajaja
Février 2025
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