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Math - Nombres Complexes

Exemple 1

On considère une fonction complexe, l'application f_α(z) de la variable complexe z et de paramètre complexe α ∈ C^*, de C - {α} dans C - {α}, définie par:

f_α(z) = α z /(z - α)

Ona va montrer que :

Si f_α(z) ∈ iR, c'est à dire un imaginaire pur, alors |z|² R_e(α) = |α|² R_e(z)

Rappelons que:

Si z ∈ iR ⇒ , alors Co(z) = - z

Donc:

f_α(z)∈ iR ⇒ Co (f_α(z)) = - f_α(z)

Co(z) = Conjugué de(z)

Co(α z /(z - α)) = - α z /(z - α)

Co(α) Co(z) /(Co(z) - Co(α)) = - α z /(z - α)

Co(α) Co(z) x (z - α) = - α z x (Co(z) - Co(α)

Co(α) x Co(z) x z - Co(α) x Co(z) x α) =
- α z x Co(z) + α z x Co(α)

Co(α) x |z|² - |α|² x Co(z) = - α |z|² z x |α|²

Co(α) x |z|² + α |z|² = |α|² x Co(z) + z x |α|²

|z|²( Co(α) + α) = |α|²( Co(z) + z )

|z|² 2 R_e(α) = |α|² 2 R_e(z)

Finalement,

|z|² R_e(α) = |α|² R_e(z)

Nous avons:

f_α(z) ∈ iR, ⇒ |z|² R_e(α) = |α|² R_e(z)

On aura de même:

|z|² R_e(α) = |α|² R_e(z) ⇒ f_α(z) ∈ iR,

Pour pouvoir écrire:

f_α(z) ∈ iR, ⇔ |z|² R_e(α) = |α|² R_e(z)

2) Pour tout z ∈ C \ {α}, on pose:

|z - α| = r, et arg(z - α) = θ [2π]

a) On va calculer |f_α(z) - α| en fonction de r et de |α|.

f_α(z) - α = α z /(z - α) - α = α² /(z - α)

f_α(z) - α = α² /(z - α)

|f_α(z) - α| = |α² /(z - α)| =
|α|² /|z - α| = |α|² /r

|f_α(z) - α| = |α|² /r

b) On va calculer arg(f_α(z) - α) en fonction de θ et arg(α).

arg(f_α(z) - α) = arg(α² /(z - α))
= arg(α²) - arg(z - α) = 2 arg(α) - arg(z - α) = 2 arg(α) - θ [2π]

Donc:

arg(f_α(z) - α) = 2 arg(α) - θ [2π]

3) On prends α = - 1 + i . Et on considère les ensembles suivants dans le plan complexe (P):

• (D) = {M(z)/ arg(f_α(z) - α) = 3π/4 [2π] }
• (C) = {M(z)/ |f_α(z) - α| = 2 }
• (E) = {M(z)/ f_α(z) ∈ iR }

a) On va déterminer (C) et (E)

• (C)

z ∈ C - α M(z) ∈ (C): |f_α(z) - α| = 2

On a:

|f_α(z) - α| = |α|²/r = 2

D'où:

r = |α|²/2

r = |α|²/2 = r = |- 1 + i|²/2 = 2/2 = 1

r = 1

Nous avons; |z - α| = r

Il vient:

|z - α| = 1

z étant l'affixe du point M ∈(C). Si α ∈ C - {α} est l'affixe d'un point A, on peut écrire:

|z - α| = 1 = module du vecteur "AM" = AM

AM = 1

AM = 1 ⇔ (C) est un cercle de centre A est de rayon 1

(C) est un cercle de centre A est de rayon 1

• (E)

M(z) ∈ (E) ⇔ f_α(z) ∈ iR

On utilise la propriété démontrée en 1. Si f_α(z) ∈ iR, alors |z|² R_e(α) = |α|² R_e(z)

Donc:

|z|² (- 1) = 2 R_e(z)
|z|² + 2 R_e(z) = 0

On écrit l'affixe du point M: z = x + i y ⇒ M(z) = M(x,y). On a donc:

x² + y² + 2 x = 0
x² + 2 x + 1 + y² = 1
(x + 1)² + (y - 0)² = 1

Equation d'un cercle de centre Ω(- 1, 0) et de rayon égal à 1, qui ne doit pas contenir le point A(α) .

Donc

(E) est un cercle de centre Ω(- 1, 0) et de rayon égal à 1, qui ne doit pas contenir le point A(α) .

b) On s'occupe maintenant de l'ensemble (D)

M(z) ∈ (D) ⇔ arg(f_α(z) - α) = 3π/4 [2π]

⇔ 2 arg(α) - θ = 3π/4 [2π]
⇔ θ = 2 arg(α) - 3π/4 [2π]

Nous avouns:

α = - 1 + i = √2 (- √2/2 + i √2/2)
= √2 (cos(3π/4) + i sin(3π/4))

Donc: arg(α) = 3π/4 [2π].

D'où:

θ = 2 arg(α) - 3π/4 [2π] =

2 x 3π/4 - 3π/4 [2π] = 3π/4 [2π]

θ = 3π/4 [2π]

Nous avons :|z - α| = r et arg(z - α)= θ [2π]

Donc:

arg(z - α)= 3π/4 [2π]

Il vient:

z - α = r(cos(3π/4) + i sin(3π/4))

Nous avons aussi: α = - 1 + i = cos(3π/4) + i sin(3π/4)

Donc:

z - α = r α

Vectoriellement :Vecteur AM = r Vecteur OA.

Algébriquement, avec M(x,y) et A(x_A; y_A):

x - x_A = r x_A, et
y - y_A = r y_A

Nous avons:

x_A = - √2/2
y_A = + √2/2

Donc:

x - x_A = - r √2/2,     (1)
y - y_A = r √2/2     (2)

On fait la somme des équations (1) et (2), on obtient:

x - x_A + y - y_A = 0
x + y - x_A - y_A = 0

C'est à dire x + y = 0 , qui est l'équation de la droite de la deuxième bissectrice .

L'écriture Vecteur AM = r Vecteur OA, avec r = √2 > 0, force la droite de la deuxième bissectrice à commencer du point A. On obtient plutôt une demi-droite [AM), d'origine le point A( - √2/2, + √2/2, et d'équation:

x + y = 0 ,
x < √2/2



c) On va écrire f_α(z) sous forme algébrique et chercher z_o ∈ C \ {α}/ le point B(z_o) ∈ (D) ∩ (E)

• B(z_o) ∈ (D) ⇒

arg (f_α(z_o) - α) = 3π/4 [2π]

• B(z_o) ∈ (E) ⇒
|f_α(z_o) - α | = 2

On construit donc le complexe f_α(z_o) - α

f_α(z_o) - α = 2 (cos(3π/4) + i sin(3π/4))

D'où :

f_α(z_o) = α + 2 (cos(3π/4) + i sin(3π/4))
= - 1 + i + 2 (- √2/2 + i √2/2)
= - 1 - √2 + i(1 + √2)

f_α(z_o) = - (1 + √2) + i(1 + √2)

On va maintenant déterminer z_o

On a déjà montré que:

|f_α(z) - α| = |α|²/r

Donc:

|f_α(z_o) - α| = |α|²/r = 2

D'où:

r = |α|²/2 =|- 1 + i|² /2 = 1

Nous aurons donc:

|z_o - α| = r = 1 et

arg(f_α(z_o) - α) = 3π/4 [2π] et
arg(z_o - α) = 3π/4 [2π]

On construit le complexe: z_o - α

z_o - α = 1 (cos(3π/4) + i sin(3π/4))
z_o = α + cos(3π/4) + i sin(3π/4)
z_o = - 1 + i - √2/2 + i √2/2

z_o = - 1 - √2/2 + i(1 + √2/2)

4) On considère l'application Φ , qui à chaque point M(z), on associe un point M'(z') = Φ(M(z)), telle que

z' = (- 1 + i)z - 1 + 3i

On va montrer que Φ est la composée d'une homothétie et d'une rotation.

M(z) -- > M1(z1) = H(M(z)) --> M2(z2) = R(M1(z1)) = RoH(M(z))

La transformation de z par Φ s'écrit:

z --> z'= Φ(z) = (- 1 + i)z - 1 + 3i

α = - 1 + i, se transforme comme suit:

α --> α' = Φ(α) = (- 1 + i)α - 1 + 3i =
(- 1 + i)(- 1 + i) - 1 + 3i = 1 - 2i - 1 - 1 + 3i =
- 1 + i

Donc

Φ(α) = α

L'application Φ laisse α invariant.

Nous avons:

z'= Φ(z) = (- 1 + i)z - 1 + 3i     (1)
α'= α = Φ(α) = (- 1 + i)α - 1 + 3i    (2)

On a:

α = (- 1 + i) = √2 (- √2/2 + i √2/2)

En notation exponentielle:

(- √2/2 + i √2/2) = cos(3π/4) + i sin(3π/4) = exp {i 3π/4}

(1) - (2) donne:

z' - α = (- 1 + i) (z - α) = √2 ( - √2/2 + i √2/2)(z - α) = √2 exp {i 3π/4}(z - α)

z' - α = √2 exp {i 3π/4}(z - α)

• √2 (z - α) exprime une homothétie de centre A, d'affixe α,et de rapport √2

• exp {i 3π/4} exprime une rotation de centre A et d'angle 3π/4.

• Le produit des deux exprime une composition d'une homothétie et d'une rotation.

On a donc: Φ (M) = RoH(M)

Φ = RoH

b) On cherche les images par Φ de (C) et de (D).

• Pour (C): On , H(A) = A et R(A) = A

Φ(C) = RoH(C) = R(H(C))

(C) est le cercle de centre A et de rayon 1

H(C) est le cercle de centre H(A) et de rayon √2

R(H(C)) est le cercle de centre R(A) et de rayon √2.

Donc :

Φ(C) est le cercle de centre A et de rayon √2.

• Pour (D):

A étant l'extrémité de la demi-droite [AM) = (D). Cette demi-droite reste invariante par l'homothétie H de centre A:

H(D) = (D)

On a :

Φ(D) = RoH(D) = R(H(D))= R(D)

Donc : Φ(D) est une demi-droite d'extrémité A, tournée dun angle de 3π/4.

Si M est un point de (D), Par Φ il devient M' = Φ(M)= R(M), Le vecteur AM devient AM'.

Le vecteur AM'est rotation du vecteur AM de 3π/4. Il est alors dirigé verticalement vers le bas.

-- Abdurrazzak Ajaja
Janvier 2025