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Baccalauréat 2
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Math - Analyse
Analyse
Théorème des accroissements finis
Suites
Rappels:
1. Théorème des accroissements finis
f une fonction de [a, b] vers R telle que:
• f est continue sur [a, b]
• f est dérivable sur ]a,b[
• Alors ∃ k ∈ ]a,b[ tel que:
f'(k) = (f(b) - f(a)/(b - a).
2. (Arctan (x))' = 1/(1 + x2)
Exemple:
1. ∀ x ∈ [0, +∞[ = R+ , ou ∀ x ≥ 0
Arctan(x) est une fonction considérée de [x, x + 1] vers R
On applique le TAF:
• Arctan(x) est confinue sur [x, x + 1]
• f est dérivable sur ]x, x + 1[
• Alors ∃ k ∈ ]x, x + 1[ tel que
(Arctan (k))' = (Arctan(x + 1) - Arctan(x)/((x + 1) - x),
ou
Arctan(x + 1) - Arctan(x) = 1/(1 + k2)
∀ x ∈ R+, ∃ k ∈ ]x, x + 1[ tel que
Arctan(x + 1) - Arctan(x) = 1/(1 + k2)
On a x ≤ k ≤ x + 1. Donc:
On élève au carré et on ajoute 1:
x 2 + 1 ≤ k2 + 1 ≤ (x + 1)2 + 1
On inverse:
1/((x + 1)2 + 1) ≤ 1/(k2 + 1) ≤ 1/(x 2 + 1)
d'où:
1/((x + 1)2 + 1) ≤ Arctan(x + 1) - Arctan(x) ≤ 1/(x 2 + 1)
(E1)
2. On fixe un x sur R+ . Il lui est associé un k ∈ ]x, x + 1[ tel que :
Arctan(x + 1) - Arctan(x) = 1/(k 2 + 1)
On remplace dans la formule (E1), :
1/((x + 1)2 + 1) ≤ 1/(k2 + 1) ≤ 1/(x 2 + 1)
On somme:
Σ 1/((x + 1)2 + 1) ≤ Σ 1/(k2 + 1) ≤ Σ 1/(x 2 + 1)
de k = 1 à k = n
On a : Un = Σ 1/(k2 + 1) de k = 1 à k = n
Il vient:
n1 ≤ Un ≤ n2
∀ n ∈ N (E2)
Avec :
n1 = n/((x + 1)2 + 1) et
n2 = n/(x 2 + 1)
(Un)est une suite minorée par n1 et majorée par n2.Elle converge donc vers un L tel que
n1 ≤ L ≤ n2 .
-- Abdurrazzak Ajaja
Novembre 2024
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