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Baccalauréat 2
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Math - Limite d'une fonction
Limite d'une fonction
Fonction trigonométrique
Exemple 1
Rappels:
•
xn - 1 =
(x - 1)(1 + x + x2 + x3 + ... + xn - 1)
•
1 + 1 + 1 + ... + 1 (n fois) = n
•
1 + 2 + 3 + ... + n = n(n + 1)/2
Soit la fonction f définie par :
f(x) = A(x)/B(x) (1)
Avec:
A(x) = x + x2 + x 3 + ... + xn - n
et
B(x) = (2 - x)n - 1
On cherche :
lim f(x)
x → 1
On va transformer A(x) en changant n par 1 + 1 + 1 + ... + 1 n fois. Il vient:
A(x) = x + x2 + x 3 + ... + xn - (1 + 1 + 1 + ... + 1) =
x - 1 + x2 - 1 + x 3 - 1 + ... + xn - 1 =
On utiise la formule :
xn - 1 = (x - 1)(1 + x + x2 + x3 + ... + xn - 1)
On a donc :
A(x) = (x - 1) + (x - 1)(x + 1) + (x - 1) (x2 + x + 1) + ...
+ (x - 1)(xn-1 + xn - 2 + ... + x + 1) =
Avec (x - 1) en facteur, on aura:
A(x) = (x - 1)(1 + (x + 1) + (x2 + x + 1) + ...
+ (xn-1 + xn - 2 + ... + x + 1)) =
On utiise de nouveau la formule pour B(x) :
B(x) = (2 - x)n - 1 = ((2 - x) - 1)(1 + (2 - x) + (2 - x) 2
+ ... + (2 - x)n - 2 + (2 - x)n - 1)
= (1 - x)(1 + (2 - x) + (2 - x) 2 + ... + (2 - x)n - 2 + (2 - x)n - 1)
Le rapport f(x) = A(x)/B(x), en simplifiant par (x - 1), prend la forme :
f(x) = - (1 + (x + 1) + (x2 + x + 1) + ... + (xn-1 + xn - 2 + ... + x + 1)) /
(1 + (2 - x) + (2 - x) 2 + ... + (2 - x)n - 2 + (2 - x)n - 1)
On utiisant la formule :
1 + 1 + 1 + ... + 1 (n fois) = n , on peut ecrire:
lim f(x) =
x → 1
- ((1 + (2) + (3) + ... + (n)) / (1 + (1) + (1) + ... + 1 + 1)
=
- (1 + 2 + 3) + ... + n) / (1 + 1 + 1 + ... + 1 + 1)
On utiisant la formule :
1 + 2 + 3 + ... + n = n(n + 1)/2
,
On obtient:
lim f(x) = - n(n + 1)/2 /n = - (n + 1)/2
x → 1
lim f(x) = - (n + 1)/2
x → 1
Exemple 2
Rappels:
•
sin (y + π) = - sin y
•
cos (y + π/2) = - sin y
•
lim sin x/x = 1
x → 0
•
xin x = sin a ⇔
x = a + 2kπ ou
x = π - a + 2kπ ,
k ∈ Z
Soit la fonction f définie par :
f(x) = A(x)/B(x) (2)
Avec:
A(x) = [(sin 2nx)/(1 + cos nx)]1/2
et
B(x) = 4 n2 x2 - π2 = (2nx - π)(2nx + π)
On cherche :
lim f(x)
x → π/2n
lim f(x) = [(sin 0)/(1 + 1)]1/2 / 0 = 0/0
x → π/2n
C'est une forme indéterminée. Nous allons donc lever l'indétermination:
Domaine de définition de la fonction f:
Pour B(x) :
4 n2 x2 - π2 ≠ 0
⇔ x ≠ ± π/2n
x ≠ ± π/2n
Pour A(x) :
1 + cos nx est toujours positif ou nul. 1 + cos nx ≥ 0
sin 2nx doit être positif.
Rappelons :
sin 2nx = 0 = sin 0 ⇔
2nx = 2kπ ou
2nx = π+ 2kπ (1 + 2k)π,
Donc 2nx = kπ ou
x = kπ/2n
k ∈ Z
Les points zéro de la fonction sin 2nx sont les éléments de I = {x / x = kπ k ∈ Z}.
Au point 2nx = kπ k ∈ Z sin 2nx = 0 , positif si 2nx < kπ .
Donc Au point x = kπ/2n par valeur négative sin 2nx est positif
k = 1, 2nx = π ou x π/2n par valeur négative que sin 2nx est positif.
Nous allons donc chercher:
lim f(x)
x < π/2n ou x → (π/2n)-
Nous allons faire un changement de variable
y = 2nx - π donc
2nx = y + π ou x = (y + π)/2n
Donc si x → (π/2n)-, alors:
y = 2n(π/2n)- - π = (π)- - π =
0-
Donc y vas tendre vers 0-
Avec les relations:
sin (2nx) = sin (y + π) = - sin y
cos (nx) = cos (y/2 + π/2) - sin y/2
A(x) = - sin y/(1 - sin y/2)]1/2
et
B(x) = (2nx - π)(2nx + π) = y(y + 2π)
f(x) devient:
f(y) = A(x)/B(x) =
[- sin y/(1 - sin y/2)]1/2 / y(y + 2π)
Nous allons faire un autre changement de variable
y = - z
Donc z vas tendre vers 0+
f(y) devient:
f(z) = A(x)/B(x) =
[sin z/(1 + sin z/2)]1/2 / z(z - 2π) =
[(sin z /z)/(1 + sin z/2)]1/2 / z1/2(z - 2π)
Avec
lim sinz /z = 1
z → 0
lim f(z)= [1/(1 + 0]1/2 / z1/2(z - 2π) =
z → 0+
= 1/0+ x (- 2π) - -1 /+ = - ∞
lim f(z) = - ∞
z → 0+
Finalement,
lim f(x) = - ∞
x → (π/2n)
Exemple 3
On cherche la limite de f(x) = A(x)/B(x) lorsque x tends vers zéro,
avec
A(x) = 1 - cos x . cos 2x . cos 3x . ... . cos nx
et
B(x) = x2
Pour x = 0, on A(x)= 1 - 1 x 1 x 1 x ..x 1 = 1 - 1 = 0 , et B(x) = 0. Donc f(x) = A(x)/B(x) = 0/0.
Une forme indétérminée.
on va lever l'indetermination:
A(x) = 1 - cos x + cos x - cos x . cos 2x . cos 3x . ... . cos nx
= (1 - cos x) + cos x (1 - cos 2x . cos 3x . ... . cos nx)
= (1 - cos x) + cos x (1 - cos 2x + cos 2x - cos 2x . cos 3x . ... . cos nx)
= (1 - cos x) + cos x (1 - cos 2x) + cos x cos 2x(1 - cos 3x . ... . cos nx)
= (1 - cos x) + cos x (1 - cos 2x) + cos x cos 2x(1 - cos 3x) + cos x cos 2x cos 3x (1 - cos 4x . ... . cos nx)
= (1 - cos x) + cos x (1 - cos 2x) + cos x cos 2x(1 - cos 3x) + cos x cos 2x cos 3x (1 - cos 4x) +
... + cos x cos 2x cos 3x cos 4x cos (n-1)x (1 - cos nx)
On obtient:
A(x)/B(x) = (1 - cos x)/x2 + 4 cos x (1 - cos 2x)(2x)2 + 9 cos x cos 2x(1 - cos 3x)/(3x)2 + 16 cos x cos 2x cos 3x (1 - cos 4x)/(4x) 2 +
... + n2 cos x cos 2x cos 3x cos 4x cos (n-1)x (1 - cos nx)/(nx)2
En utilsant la relation suivante, avec X = nx:
lim (1 - cos X)/X2 = 1/2
X → 0
On obtient:
lim f(x) = A(x)/B(x) = 1/2 + 4.1/2 + 9.1/2 + 16 . 1/2 + ... + n2 .1/2
x → 0
= 1/2( 12 + 22 + 32 + ... n2 )
On utilise la relation :
12 + 22 + 32 + ... + n2 = n(n + 1)(2n +1)/6
,
il vient:
lim f(x) = 1/2(n(n + 1)(2n +1)/6)
x → 0
Finalement,
lim f(x) = n(n + 1)(2n + 1)/12
x → 0
Exemple 4
On cherche la limite de f(x) = A(x)/B(x) lorsque x tends vers π/2,
avec
A(x) = (1 - sin x) . (1 - sin2 x) . (1 - sin3 x) ... .(1 - sinn x)
et
B(x) = cos2n x
Pour x = π/2, on A(x)= (1 - 1) x (1 - 1) x ... x (1 - 1) = 0 , et
B(x) = cos2n(π/2) = 0. Donc f(x) = A(x)/B(x) = 0/0.
Une forme indétérminée.
on va lever l'indetermination:
On rappelle que :
1 - xn = (1 - x)(1 + x + x2 + x3 + ... + xn-1)
A(x) devient:
A(x) = (1 - sin x)(1 - sin x)(1 + sin x)(1 - sin x)(1 + sin x + sin2x)...(1 - sin x)(1 + sin x + sin2 x
+ ... + sinn-1 x)
= (1 - sin x)n)(1 + sin x)(1 + sin x + sin2x)...(1 + sin x + sin2 x
+ ... + sinn-1 x)
On aura besoin de
cos2nx = (cos2x)n = (1 - sin2x)n =
(1 - sin x)n (1 + sin x)n
On simplifie par (1 - sin x)n. On a:
f(x) = A(x)/B(x) = (1 + sin x)(1 + sin x + sin2x)...(1 + sin x + sin2x
+ ... + sinn-1 x)/(1 + sin x)n
lim f(x) = (1 + 1)(1 + 1 + 1)(1 + 1 + 1 + 1)...(1 + 1 + 1 + ...+ 1 , n fois)/(1 + 1)n = 2 x 3 x 4 x ... n/2n
x → π/2
Finalement:
lim f(x) = n!/2n
x → π/2
-- Abdurrazzak Ajaja
Août 2024
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