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Math - Suites et Séries

Exemple 1

On considère une suite (U_n)_n définie par

U_n = Σ n/(n² + p ) : de p = 0 à p = 2n + 1

1. On veut montrer que

2n/(n + 1) ≤ U_n≤ (2n + 2)/n

On a

0 ≤ p ≤ 2n + 2

n² ≤ n² + p ≤ 2n + 2 + n² = (n + 1)²

⇒ 1/(n + 1)² ≤ 1/(n² + p) ≤ 1/n²

⇒ n/(n + 1)² ≤ n/(n² + p) ≤ 1/n

⇒ Σ n/(n + 1)² ≤ Σ n/(n² + p) ≤Σ 1/n
de p = 0 à p = 2n + 1

Σ , de p = 0 à p = 2n + 1 contient (2n + 1) - 0 + 1 = 2n + 2 termes. Il vient:

n(2n + 2)/(n + 1)² ≤ Σ n/(n² + p) ≤Σ (2n + 2)/n

D'où :

2n/(n + 1) ≤ U_n ≤ (2n + 2)/n         (F1)

2. On veut montrer que : √ (n) - √(n - 1) ≥ 1/2n

On multiplie et on divise par la quantité conjuguée : √ (n) + √(n - 1), il vient:

√ (n) - √(n - 1) =

(√ (n) - √(n - 1) )( √ (n) + √(n - 1)) / (√ (n) + √(n - 1))

n - (n - 1) / (√ (n) + √(n - 1) ) = 1 /(√ (n) + √(n - 1) )

D'autre part, n ∈ N^*

n - 1 < n

√(n - 1) < √(n)

√(n - 1) + √(n) < 2√(n) ≤ 2n. Donc:

1/2n ≤ 1/( √(n - 1) + √(n))

Avec 1/(√(n - 1) + √(n)) = √(n) - √(n - 1)

1/2n ≤ √(n) - √(n - 1)

√(n) - √(n - 1) ≥ 1/2n, avec n ∈ N^*         (F2)

3. On veut montrer que

Σ 1/p ≤ 2√(n) , de p = 1 à p = n.

Σ 1/p = 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... + 1/n ≤ 1/n

D'après (F2)

1/n ≤ 2 (√(n) - √(n - 1)) ≤ 2 √(n)

Donc:

Σ 1/p ≤ 2√(n) , de p = 1 à p = n         (F3)

4. On cherche

lim de S_n = Σ U_k
k → +∞

A partir de (F1), on peut ecrire:

2 - 2/(k +1) ≤ U_k ≤ 2 + 2/k

On prend les sommes:

Σ (2 - 2/(k +1)) ≤ Σ U_k ≤ Σ (2 + 2/k ,
de k = 1 à k = n .

= Σ (2) - 2Σ 1/(k +1) ≤ S_n ≤ Σ (2) + 2Σ1/k
de k = 1 à k = n .

2n - 2Σ 1/(k + 1) ≤ S_n ≤ 2n + 2Σ1/k
de k = 1 à k = n .

D'après (F3)

2n - 2x2 √(n +1) ≤ S_n ≤ 2n + 2x2 √(n)

2n - 4√(n+1) ≤ S_n ≤ 2n + 4 √(n)

Lorsque n tends vers plus l'infini,

lim 2n - 4√(n+1)= lim n(2 - 4√(1/n + 1/n²)= + ∞

et lim 2n + 4 √(n) = + ∞ .

Donc

+ ∞ ≤ S_n ≤ + ∞ ou

lim S_n = + ∞
n → + ∞

S_n diverge.

Exemple 2

On cosidère une suite géométrique(Un) de raison q

On a:

La somme Sn = σ Un = U0 + U1 + .... + Un

Le produit P = Π Un = U0 x U1 x U2 x ... x Un

La somme des inverses T = &Sigma (1/Un) = 1/U1 + 1/U2 + .... + 1/Un

a) On veut montrer que :

S = U0 (q^n-1 - 1)/(q - 1)

On a :

(Un) : U0, U1 , U2 , U3 , ... Un : n + 1 termes

(Un) : U0, U1 , U2 , U3 , ... Un-1 : n termes

U1 = q U0 , U2 = q U1 = q² U0 , ....Un-1 = q^n-1U0

S = U0( 1 + q + q² + .... + q^n-1)

1 + q + q² + .... + q^n-1 = (qⁿ - 1)/(q - 1)

Ou tout simplemet = (dernier terme - premier terme)/(raison - 1)

S = U0(qⁿ - 1)/(q - 1)

S/U0 = (qⁿ - 1)/(q - 1)         (E1)

b) Produit:

P = U0 x U1 x ..... x Un = U0 x qU0 x q² U0 x ... x q^n-1 U0

= U0ⁿ x q^{1 + 2 + 3 + .... + n-1}

or:

1 + 2 + 3 + .... + n-1 = (n - 1)n/2

Donc:

P = U0ⁿ x q^{(n - 1)n/2}         (E2)

c) La somme des inverses:

T = 1/U0 + 1/U1 + 1/U2 + .... + 1/Un =

1/U0 + (1/q)(1/U0) + (1/q²)(1/U0) + .... + (1/q^n-1(1/U0) =

= (1/qⁿ(1/U0) - 1/U0 )/((1/q) - 1) =

(1/U0) (1/qⁿ - 1 )/((1/q) - 1)

= (1/U0) (qⁿ - 1)/(q - 1) x 1/q^n-1 =

D'après (E1) :

T = (1/U0) ((S/U0) x 1/q^n-1 = (S/U0²) x 1/q^n-1

S/T = U0² q^n-1         (E3)

D'après (E2):

P = U0ⁿ x q^{(n - 1)n/2} = {U0² x q^{(n - 1)}}^n/2

D'après (E2):

P = {S/T}^n/2. D'où:

P² = {S/T}ⁿ

P² = {S/T}ⁿ

-- Abdurrazzak Ajaja
Septembre 2024