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Math - Fonction implicite

Rappels:

1. TAF: Théorème des accroissemnts fins:

Si une fonction f de [a,b] vers R continue sur [a,b] et dérivable sur ]a,b[, alors:
il existe un c dans [a, b] tel que :

f'(c) = (f(b) - f(a))/(b - a)

2. (Arctan(x))' = 1/(1 + x²)


Exemple:

On considère deux suites (U_n)_n et (V_n)_n définies par:

U_n = Σ(-1)^k/(2k + 1): de k = 0 à k = 2n + 1

V_n = Σ(-1)^k/(2k + 1): de k = 0 à k = 2n

Pour alléger l'écriture: on pose:

S(k) = (-1)^k/(2k + 1)

U_n = Σ S(k): de k = 0 à k = 2n + 1 = U_n(0,2n +1)

et

V_n = Σ S(k) de k = 0 à k = 2n = V_n(0, 2n)

1. Les suites (U_n)_n et (V_n)_n seront adjacentes si elles remplissent les deux conditions suivantes:

1.1. L'une est croissante et l'autre et décroissante.

1.2 lim U_n = lim V_n
n → +∞

1.1.1 U_n)_n

U_n+1 - U_n =

U_n(0,2(n+1) +1) - U_n (0,2n +1) =

U_n(0,2n + 3) - U_n (0,2n + 1) =

U_n(0,2n + 3) = S(2n + 3) + S(2n + 2) + U_n (0,2n + 1)

Donc:

U_n+1 - U_n = S(2n + 3) + S(2n + 2) =

(-1)^{2n + 3}/(2(2n + 3) + 1) + (-1)^{2n + 2}/(2(2n +2) + 1)

On note: (-1)^m = 1 si m est pair ou
- 1 si m est impair.

Donc :

U_n+1 - U_n =

-1 /(4n + 7) + 1/(4n + 5) = 2/(4n + 7)(4n + 5) ≥ 0

D'où :

U_n+1 - U_n ≥ 0 ou

U_n+1 ≥ U_n

La suite (U_n) est croissante

Maintenant la suite (V_n)_n:

1.1

V_n+1 - V_n =

V_n (0,2(n+1)) - V_n (0,2n) = V_n (0,2n + 2) - V_n (0,2n) =

V_n (0,2n + 2) = S(2n + 2) + S(2n + 1) + V_n (0,2n)

Donc:

V_n+1 - V_n = S(2n + 2) + S(2n + 1) =

(-1)^{2n + 2}/(2(2n + 2) + 1) + (-1)^{2n + 1}/(2(2n + 1) + 1) =

V_n+1 - V_n = + 1 /(4n + 5) - 1/(4n + 3) =
- 2/(4n + 5)(4n + 3) ≤ 0

D'où :

V_n+1 - V_n ≤ 0 ou V_n+1 ≤ V_n

La suite (V_n) est décroissante

On cherche à montrer que:

lim U_n = lim V_n
n → +∞

On a U_n - V_n = U_n(0, 2n + 1) - V_n (0, 2n)

On a: U_n(0, 2n + 1) = S(2n + 1) + U_n(0, 2n)

et

V_n (0, 2n) = V_n (0, 2n)

Il reste :

U_n - V_n =

S(2n + 1) = (-1)^{2n + 1}/(2(2n+1)+ 1) = - 1/(4n + 3)

Donc :

U_n - V_n = - 1/(4n + 3)

D'où:

lim (U_n - V_n) = lim - 1/(4n + 3) = 0
n → +∞

Ou

lim U_n = lim V_n = 0
n → +∞

Les conditions 1.1 et 1.2 ont été vérifiées. Donc

Les suites (U_n)_n et (V_n)_n sont adjacentes.

2. On pose

f_n(x) = Σ S(k) x^2k+1 : de k = 0 à k = n.

2.1. On dérive:

(f_n(x))' = (Σ S(k) x^{2k + 1})' : de k = 0 à k = n.

= Σ S(k) (x^{2k + 1})' : de k = 0 à k = n.

= Σ (2k + 1)S(k) x^2k : de k = 0 à k = n.

= Σ (2k + 1)(-1)^k x^2k/(2k + 1) : de k = 0 à k = n.

= Σ (-1)^k x^2k : de k = 0 à k = n.

= Σ (- x^2k) : de k = 0 à k = n.

Une suite géométrique de premier terme 1 et de
raison q = - x²

Donc :

(f_n(x))' = (1 - qⁿ⁺¹)/(1 - q)

= (1 - (- x²)ⁿ⁺¹) /(1 + x²)

= 1/(1 + x²) - (-1)ⁿ⁺¹ x^{2n + 2} /(1 + x²)

f'_n(x) = 1/(1 + x²) - (-1)ⁿ⁺¹ x^{2n + 2} /(1 + x²)

2.2 : On voit Arctan(x), oOn songe tout de suite à

Arctan'(x) = 1/(1 + x²)

x ∈ R⁺

Nous avons:

f_n(x) = Σ S(k) x^{2k + 1} : de k = 0 à k = n.

Donc

f_2n+1(x) = Σ S(k) x^{2k + 1} : de k = 0 à k = 2n + 1.

On aura aussi:

f'_2n+1(x) = 1/(1 + x²) - (-1)^{2n + 1 + 1} x^{2(2n + 1) + 2} /(1 + x²) =

f'_2n+1(x) = 1/(1 + x²) - (-1)^{2n + 2} x⁴ⁿ⁺⁴ /(1 + x²)

2.a.1. Pour comparer f_2n+1(x) avec Arctan(x), on va faire leur différence, qu'on nomme g(x):

g(x) = f_2n+1(x) - Arctan(x)

g(x) et continue et dérivable du [0,x], donc ∃ un réel "c" tel que :

g'(c) = (g(x) - g(0))/(x - 0)

On a g(0) = f_2n+1(0) - Arctan(0) = 0 - 0 = 0

Il reste :

g'(c) = g(x)/ x ou g(x) = x g'(c)

g(x) = x g'(c)

On dérive et on utilise le théorème des accroissemnets finis

g'(x) = f'_2n+1(x) - Arctan'(x) =

1/(1 + x²) - (-1)^{2n + 2} x⁴ⁿ⁺⁴ /(1 + x²) - 1/(1 + x²) =

-(-1)^{2n + 2} x⁴ⁿ⁺⁴ /(1 + x²) =

g'(x) = - x⁴ⁿ⁺⁴ /(1 + x²) ≤ 0

g'(c) = - c⁴ⁿ⁺⁴ /(1 + c²) ≤ 0

x ∈ R⁺ Donc

g(x) = x g'(c) ≤ 0

D'où:

f_2n+1(x) - Arctan(x) ≤ 0 ou

f_2n+1(x) ≤ Arctan(x)

2.b.1. Pour comparer f_2n(x) avec Arctan(x), on procède de la même façon. On va faire leur différence, qu'on nomme h(x):

h(x) = f_2n(x) - Arctan(x)

h(x) et continue et dérivable du [0,x], donc ∃ un réel "c" tel que :

h'(c) = (h(x) - h(0))/(x - 0)

On a h(0) = f_2n(0) - Arctan(0) = 0 - 0 = 0

Il reste :

h'(c) = h(x)/ x ou h(x) = x h'(c)

h(x) = x h'(c)

On dérive et on utilise le théorème des accroissemnets finis

h'(x) = f'_2n(x) - Arctan'(x) =

f'_n(x) = 1/(1 + x²) - (-1)ⁿ⁺¹ x^{2n + 2} /(1 + x²)

donc :

f'_2n(x) = 1/(1 + x²) - (-1)²ⁿ⁺¹ x^{4n + 2} /(1 + x²)

Donc:

h'(x) = 1/(1 + x²) - (-1)^{2n + 1} x⁴ⁿ⁺² /(1 + x²) - 1/(1 + x²) =

- (-1)^{2n + 1} x⁴ⁿ⁺² /(1 + x²)

h'(x) = + x⁴ⁿ⁺⁴ /(1 + x²) ≥ 0

h'(c) = + c⁴ⁿ⁺⁴ /(1 + c²) ≥ 0

x ∈ R⁺ Donc

h(x) = x h'(c) ≥ 0

D'où

f_2n(x) - Arctan(x) ≥ 0 ou

f_2n (x) ≥ Arctan(x)

On combine les deux inégalités et on trouve:

f_2n+1(x) ≤ Arctan(x) ≤ f_2n (x)

f_2n+1(x) ≤ Arctan(x) ≤ f_2n (x)

2.c On cherche lim Un et Vn.

L'idée ici et de poser x = 1. On obtient:

f_n(x) = Σ S(k) x^{2k + 1} : de k = 0 à k = n.

f_2n+1(x) = Σ S(k) x^{2k + 1} : de k = 0 à k = 2n+1.

f_2n+1(1) = Σ S(k) : de k = 0 à k = 2n+1 =

U_n

f_2n+1(1) = U_n

f_2n(x) = Σ S(k) x^{2k + 1} : de k = 0 à k = 2n.

f_2n(1) = Σ S(k) : de k = 0 à k = 2n =

= V_n

f_2n(1) = V_n

On réecrit l'inégalité:

f_2n+1(x) ≤ Arctan(x) ≤ f_2n (x)

f_2n+1(1) ≤ Arctan(1) ≤ f_2n (1)

U_n ≤ π/4 ≤ V_n

U_n ≤ π/4 ≤ V_n

• U_n est croissante, donc magorée par π/4
• V_n est décroissante, donc minorée par π/4

U_n et V_n sont donc convergentes.

On a :

lim U_n = lim V_n = l
n → +∞:

On a:

U_n ≤ π/4 ≤ V_n

On passe à la limite:

lim U_n ≤ π/4 ≤ lim V_n
n → +∞

l ≤ π/4 ≤ l

Donc

l = π/4

lim U_n = lim V_n = π/4
n → +∞

Les suites (U_n)_n et (V_nn) convergent vers π/4.

-- Abdurrazzak Ajaja
Septembre 2024