Mathématiques :
Les baccalauréats
Bac S 2007 Amérique du nord corrigé

Corrigé du bac Mathématiques
S 2007 Amérique du nord

EXERCICE IV : 7 points
Commun à tous les candidats

1. Restitution organisée de connaissances.

a. Soit la fonction définie sur [0 ; +∞[ par

g(x) = exp{x} - x²/2

g est dérivable comme différence de fonctions dérivables; pour tout x de [0 ; +∞[, g'(x) = exp{x} - x > 0 puisque exp{x}> x pour tout x.

g'(x) est donc positif et g est croissante sur [0 ; +∞[; g(0) = 1 donc, pour tout x > 0, g(x) > g (0) = 1.
donc g(x) > 0 .

b. On en déduit que, pour tout x ≥ 0, exp{x} ≥ x²/2.

Pour x > 0, en divisant par x, on obtient : exp{x} /x ≥ x/2. Comme
lim x/2 = ∞ ,
x → ∞
d’après le pré-requis, on en déduit :

lim exp{x} /x = + ∞
x → ∞.

lim exp{x}/x = + ∞
x → ∞

2. Soit f la fonction définie sur [0 ; + ∞[ par

f(x) = (1/4) x exp{- x/2}.

a. La fonction exponentielle est positive sur [0 ; + ∞[ donc, pour tout x de [0 ; +∞[ , f(x) ≥ 0 .

b. Pour tout x ≥ 0, f (x) = (1/2)(1/2) x exp{- x/2}.

On pose X = x/2 . Donc

lim X = + ∞
x → + ∞

Par conséquent, d’après le théorème sur la composition des limites, on a :

lim f(x) = lim (1/2) X exp {- X} = lim (1/2) X/exp {X}
x → + ∞

On a vu dans la question 1. que :

lim exp{x}/x = + ∞
x → + ∞

Donc

lim X/exp{X} = 0.
x → + ∞

Par conséquent :

lim f(x) = 0
x → + ∞

La courbe C admet donc une asymptote d’équation y = 0 en +∞ .

c. f est dérivable sur [0 ; +∞[ comme produit et composée de fonctions dérivables.

On dérive et on obtient:

f'(x) = (1/5)(2 - x) exp{-x/2}

f'(x) = (1/5)(2 - x) exp{-x/2}

exp{-x/2} > 0, donc f'(x) est du signe de 2 - x donc positif pour x ≤ 2, nul en 2 et négatif pour x ≥ 2.

f est croissante sur [0 ; 2] et décroissante sur [2 ; +∞[.

Tableau de variations :



3. Soit F la fonction définie sur [0 ; +∞[ par:

F(x) = ∫(0,x) f(t) dt.

a. F est la primitive de f qui s’annule en 0 donc F' = f .

Comme on a montré que f était positive, F est positive et F est croissante.

b. Pour tout x, F(x) = ∫(0,x)(1/4) t exp{-t/2}) dt.

Une intégration par parties donne:

F(x) = 1 - exp{-x/2} - (x/2) exp{-x/2}

c. lim (-x/2) = - ∞
x → + ∞

Donc par composition avec la fonction exponentielle,

lim exp{- x/2} = 0
x → + ∞

Or , d'après ce qui précède:

lim (x/2) exp{- x/2} = 0
x → + ∞

Donc

lim F(x) = 1
x → + ∞

On en déduit le tableau de variations de F :



d. F est continue puisque dérivable; F est strictement croissante; F(0) = 0 et
lim F(x) = 1
x → + ∞

D’après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe un unique réel positif a tel que F(a) = 0.5.

À la calculatrice, on trouve : a ≈ 3.36 à 0.01 près par excès.

4. An = ∫(0,n) f(t) dt = F(n) - F(0) = F(n) car F(0) = 0.

D’après la question précédente, le plus petit entier n pour lequel An > 0.5 est n = 4 .