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Baccalauréat 2
Physique
Chimie
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Physique - Électricité
Physique
Électricité
Étude du dipôle RLC
Partie 1
K2 est ouvert. K1, K3, K4 sont fermés.
Nous avons un circuit RL parallèl.
1.1. À t = 0+
1.1.1. Intensité du courant i1
i1 = i4 + i5
i4 = 0 ⇒ i1 = i5
UR2 = R2 i5
UR2 = R2 i5
E = UR1 + URR2 =
(R1 + R2)i1
i1 = E/(R1 + R2)
1.1.2. Valeur de la tension UL
UL = E - R1i1(0)= E - R1 E(R1 + R2)
E(1 - R1/(R1 + R2)) = ER2/(R1 + R2)
UL = r i4 + L di4/dt = 0
UL = 0
1.2.Régime permanent:
1.2.1. Résistence équivalente:
Req = R1 + R45
1/R45 = 1/r + 1/R2
= (r + R2)/r R2
⇒ R45 = r R2 /(r + R2)
→
Req = R1 + r R2/(r + R2)
.
1.2.2. Valeur des intensités i1, i4 et i5
E = Req i1
i1 = E/Req =
E/(R1 + r R2/(r + R2)) =
(r + R2)E/(r R1 + R1R2 + r R2)
• i1 =
(r + R2)E/(r R1 + R1R2 + r R2)
i1 = i3 = i4 + i5
En régime permanent, di4/dt = 0
UL = r i4 + Ldi4/dt
= r i4 + 0 = r i4
On a pour la portion parallèle 4et5:
UL = UR2
r i4 = R2 i5 →
i5 = (r/R2)i4
⇒
i1 = i4 + (r/R2)i4 =
(1 + (r/R2))i4 =
((r + R2)/R2)i4
i1 =
((r + R2)/R2)i4
donc:
i4 = i1/
((r + R2)/R2)
=
(r + R2)E/(r R1 + R1R2 + r R2)
= E(R2(r + R2)/(rR1 + R1R2 + r R2)/(r + R2))/
((r + R2)/R2)
= E R2/(rR1 + R1R2 + r R2)
• i4 = R2E/(r R1 + R1R2 + r R2)
et donc:
i5 = (r/R2) i4 = E/(rR1 + R1R2 + rR2)
• i5 = rE/(rR1 + R1R2 + rR2)
1.2.3. Expression de i4(t) en fonction du temps:
Nous avons:
UL = r i4
U = UR2 = UL + r i4 = i5 R2 = r i4
UL = r i4 + L di4/dt
i5 = (r i4 + Ldi/dt)/R2
i1 = i4 + i5 = i4 + (r i4 + Ldi4/dt)/R2
i1 = i4(1 + (r/R2)) + (L/R2)di4/dt)
E = R1 i1 + r i4 + L di4/dt
On a:
i1 = i4(1 + (r/R2)) + (L/R2)di4/dt)
Donc:
E = R1 (i4(1 + (r/R2)) + (L/R2)di4/dt) + r i4 + L di4/dt
E = i4(R1 + r R1/R2 + r) + (1 + R1/R2)L di4/dt
E/(1 + R1/R2)L = i4(R1 + r + R1r/R2)/(1 + R1/R2)L + di4/dt
R2 E/(R2 + R1)L = i4(R1 R2 + r R2 + R1r)/(R2 + R1))L + di4/dt
di4/dt + (R1 R2 + r R2 + R1r)/(R2 + R1)L i4 = R2 E/(R2 + R1)L (E)
i4(t) = A + B exp{-t/τ}
En t = 0 i4(0) = 0 , donc B = - A
D'où:
i4(t) = A(1 - exp{- t/τ})
On dérive:
di4/dt = (A/τ)exp{-t/τ}
Donc, à partir de la formule (E):
(A/τ)exp{-t/τ} +
A(R1 R2 + r R2 + R1r)/(R2 + R1)L (1 - exp{- t/τ})
= R2 E/(R2 + R1)L
(A/τ)exp{-t/τ} +
A(R1 R2 + r R2 + R1r)/(R2 + R1)L -
A(R1 R2 + r R2 + R1r)/(R2 + R1)L exp{- t/τ})
= R2 E/(R2 + R1)L
(A/τ)exp{- t/τ}(1/τ - (R1 R2 + r R2 + R1r)/(R2 + R1)L)
= R2 E/(R2 + R1)L - A(R1 R2 + r R2 + R1r)/(R2 + R1)L
Donc:
(1/τ - (R1 R2 + r R2 + R1r)/(R2 + R1)L) = 0
et
R2 E/(R2 + R1)L - A(R1 R2 + r R2 + R1r)/(R2 + R1)L = 0
1/τ = (R1 R2 + r R2 + R1r)/(R2 + R1)L
et
R2 E/(R2 + R1)L - A/τ = 0
τ = (R2 + R1)L/(R1 R2 + r R2 + R1r)
A = - B = τ R2 E/(R2 + R1)L
A = (R2 + R1)L/(R1 R2 + r R2 + R1r) x R2 E/(R2 + R1)L
A = R2 E/(R1 R2 + r R2 + R1r)
Donc:
i4(t) = R2E/(R1R2 + rR2 + R1r) (1 - exp{- t/τ})
Partie 2
Tous les interrupteurs sont férmés. On a un
circuit RLC parallèl.
Loi d'additivité des tensions s'ecrit pour la boucle LC:
UL + UC = 0 , ou:
L di4/dt + q/C = 0
On dérive:
L d2i4/dt2 + (1/C) dq/dt = 0 .
i4 = dq/dt
L d2i4/dt2 + (1/C) i4 = 0 .
Nous avons donc l'équation différentielle:
L d2i4/dt2 + (1/C) i4 = 0 .
-- Abdurrazzak Ajaja
Janvier 2025
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