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Physique - Mécanique

a) le solide {S} effectue un mouvement vertical uniformément accéléré sur un réferentiel supposé inériel.

La relation fondamentale de la dynamique pour le solide{S} de masse M s'ecrit:

P + T = M a , vectoriellement.

De facon algébrique,

P - T = M a ou M g - T = M a

T = M g - M a      (1)

A étant l'accélération selon l'axe vertical z.

b) Le cylindre {C} , on ecrit la relation fondamentale de la dynamique :

Σ Moment de forces/Δ = J_Δ d²θ/dt² , J_Δ du système au complet.

Moment(P)/Δ + Moment (R)/Δ + Moment (T)/Δ + Moment (Po)/Δ + Moment (Po)/Δ = J_Δ d²θ/dt²

• P et R rencontrent l'axe de rotation Δ ⇒ Moment(P)/Δ + Moment (R)/Δ = 0

• Les mments de Po à gauche et Po à droite s'opposent : + Po d - Po d = 0 ⇒ Moment(Po, gauche)/Δ + Moment (Po, droite)/Δ = 0

Il reste :

Moment (T)/Δ = J_Δ d²θ/dt²

Nous avons:

Moment (T)/Δ = T r

Donc:

T r = J_Δ d²θ/dt²

J_Δ = m r²/2 + 2 mo l²

m est la masse du cylindre, mo celle d'une des deux masselottes identiques.

L'accélération linéaire est :

a = r d²θ/dt²

Donc :

a = r T r / J_Δ = T r² / J_Δ

Selon la relation (1),

a = (M g - M a) r² / J_Δ

a J_Δ + M a r² = M g r²

a = M g r²/(J_Δ + M r²)

a = Mgr²/(mr²/2 + 2mol² + Mr²)   (2)

Application numérique

m = M = 2 mo

a = M g r²/(M r²/2 + M l² + M r²)

a = g r²/( 3r²/2 + l²)

a = g/( 3/2 + (l/r)²)

a = g/( 3/2 + (50/10)²) = 20/53 = 0.38 m/s²

2) On a: T = M (g - a)

= 1 (10 - 0.38) = 9.6 Newtons

T = 9.6 Newtons

3) Le mouvement de S est uniformément accéléré. Son accélération est constante.

Son équation horaire du mouvement est :

z(t) = (1/2) a t² + Vot + zo

On choisit zo = 0

La vitese initiale est nulle. Il reste

z(t) = (1/2) a t² = h

Donc t = √(2h/a)

t = √(2h/a)

Nous avons:

a = r d²θ/dt²

a = r d²θ/dt²

On integre:

dθ/dt = ∫ (a/r) dt = at/r

On y remplace t = √(2h/a):

dθ/dt = (a/r) √(2h/a) = (1/r) √(2ha)

dθ/dt = (1/r) √(2ha)   (3)

= (1/0.10) √(2 x 0.5 x 0.38) = 6.2 rad/sec

dθ/dt = 6.2 rad/sec

-- Abdurrazzak Ajaja
Avril 2025