La loi de decroissance radioactive est:

N = N_o e^{- λt}

N est le nombre des noyaux non désintegrés (restant) à l'instant t où on les compte.
N_o est le nombre initial des noyaux au moment où ils ont pris naissance, à l'instant t = 0.
λ est le constante radioactive propre à chaque noyau.
e est la base de puissance appelé exponentielle.

La demi-vie t_1/2 d'un radionucléide est le temps au bout duquel la moitié du nombre initial des noyaux N_o s'est désintégrée, soit N_o/2.

Il reste alors la moitié des noyaux non desintegrés, on peut donc ecrire :

N_o/2 = N_o e^{- λ t_1/2}

Donc

1/2 = e^{- λ t_1/2}
ln(1/2) = - λ t_1/2
- ln (2) = - λ t_1/2
ln (2) = λ t_1/2
t_1/2 = ln (2) / λ

La « période » ou « demi-vie » d'un élément radioactif est donc:

t_1/2 = ln (2) / λ

1.2. Formule de deux demi-vie

Le temps au bout duquel N_o/4 des noyaux ne se sont pas désintégés est obtenu en utilisant de nouveau la formule. On obtient:

ln (4) = λ t_1/4

Puisque ln (4) = 2 ln(2), on aura donc

2 ln (2) = λ t_1/4 . Donc

t_1/4 = 2 ln (2)/ λ = 2 t_1/2
t_1/4 = 2 t_1/2

t_1/4 = t_1/2² = 2 x t_1/2

1.3. Formule de trois demi-vie

Le temps au bout duquel N_o/8 (8 = 2³) des noyaux ne se sont pas désintégés est obtenu en utilisant de nouveau la formule. On obtient:

t_1/8 = t_1/2³ = 3 x t_1/2

1.4. Formule de quatre demi-vie

De même

Le temps au bout duquel N_o/16 (16 = 2⁴) des noyaux ne se sont pas désintégés est obtenu en utilisant de nouveau la formule. On obtient:

t_1/16 = t_1/2⁴ = 4 x t_1/2

1.5. Formule de n demi-vie

On généralise, et l'on obtient:

Le temps au bout duquel 1/n des noyaux ne se sont pas désintégés est:

t_1/2ⁿ = n x t_1/2

1. Nombre de noyaux désintegrés :
Fraction quelconque

2.1. Formule générale

N_o/ N_o = 1/x = e^{- λ t_1/x}
- ln (x) = - λ t_1/x
ln (x) = λ t_1/x
t_1/x = ln (x)/λ

On pose : x = 2^y , donc y = ln(x)/ln(2)

t_1/x = y ln (2)/λ = y t_1/2

t_1/x = y t_1/2

Le temps au bout duquel 1/x des noyaux ne se sont pas désintégés est:

t_1/x = (ln(x)/ln(2)) x t_1/2

2.2. Exemple, avec calculette

Quel est le temps au bout duquel 1/50 des noyaux ne se sont pas encore désintégés?

Taper: LN(50)/LN(2)

On trouve 5.644

Multiplier ce nombre par la demie-vie du noyau pour trouver le résultat cherché.

t_1/50 = 5.644 x t_1/2

Par exemple, pour Le césium 137 (₁₃₇Cs) de période 30.15 ans, on aura:

t_1/68 = 5.644 x 30.15 ans = 170.17 ans.