Mathématiques :
Courbes planes paramétrées
Généralités

Définition 1.

Soit I un intervalle de et E2 un plan vectoriel.

Une appliation vetorielle est une appliation
: I E2 , à valeurs dans le plan vetoriel.

Si on se placee dans le repère (O, , ) , on peut érire :

(t) = x(t) + y(t).

où x : I et y : I sont deux fontions donnant les coordonnées du vecteur (t) dans la base (, ) .

On identife à l'application l'application ƒ de I dans définie par par :

ƒ(t) = (x(t), y(t))

Dans ce chappitre, on étudiera les fonctions réelles ƒ(t) à valeur dans .

Définition 2.

Soit f : I une application vetorielle.

• ƒ est continue si et seulement si les fontions x et y sont continues.

• ƒ est dérivable si et seulement si les fonctions x et y sont dérivables, et dans ce cas, on a :

ƒ'(t) = (x'(t), y'(t))

Définition 3.

ƒ est de classe C^k sur I si f est k fois dérivable sur I , et si les dérivées sucessives de f sont continues sur I .

Définition 4.

On note: <,> le produit scalaire .

Soit : I et : I deux applications vetorielles de classe C¹ sur I .

Alors les fonctions :

a) <,> : t <(t),(t)>

b) : t (t) et

c) det (, ) : t det ((t), (t))
sont aussi de classe C¹ sur I .

Nous avons:

• < , >' = < ', > + < , ' >

• ' = < ', > /
si ≠

• det (, )' = det (', ) + det (, ')

Pour démontrer ces relations, il suffit de formuler leur produit scalaire.

Définition 5.

On appelle arc paramétré de lasse C^k toute application f :

: I
t ƒ(t) = (t) = (x(t),y(t))
où f est de classe C^k .

L'ensemble Γ = {M(t)= (x(t),y(t)), t I}
est appelé courbe paramétrée.

On note également Γ :
x = x(t)
y = y(t)
t I

Définition 6.

Soit f :

: I
t ƒ(t) = (t) = (x(t),y(t))
un arc paramétré de clase C¹ .

On appelle point régulier de la courbe paramétrée γ : "
x = x(t)
y = y(t)
t I,
tout point Mo(to) de Γ tel que ƒ'(to) ≠ (0,0).

Si tous les points de la courbe sont réguliers, celle ci est dite régulière.

Le vecteur limite ƒ'(to) = (x'(to), y'(to)) est un vecteur tangent à Γ en M(to).