Mathématiques :
Courbes planes paramétrées

Plan d’étude

Plan d’étude

• 1. Domaine de définition de la courbe

C'est l'intersection de celui de x(t) et de y(t) .

Ensuite, on détermine un domaine d’étude, plus restreint que le domaine de définition; grâce aux symétries, périodicités ..

• 2. Vecteur dérivé

Calcul des dérivées des coordonnées de t M(t).

Les valeurs de t pour lesquelles x'(t) = 0 et y'(t) ≠ 0 fournissent les points à tangente verticale et

les valeurs de t pour lesquelles y'(t) = 0 et x'(t) ≠ 0 fournissent les points à tangente horizontale.

Enfin, les valeurs de t pour lesquelles x'(t) = y'(t) = 0 fournissent les points singuliers.

• 3. Tableau de variations conjointes

L’étude de x'(t) et y'(t) permet de connaître les variations de x et y.

Reporter les résultats obtenus des variations conjointes des fonctions x et y dans un tableau. Cela donne alors un tableau suivant:

t
x'(t)
x(t)
y(t)
y'(t)

Ce tableau est le tableau des variations des deux fonctions x et y ensemble.

Il nous montre l’évolution du point M(t). Par suite, pour une valeur de t donnée, on doit lire verticalement des résultats concernant et x, et y.

• 4. Étude des points singuliers

• 5. Étude des branches infinies

• 6. Construction méticuleuse de la courbe

On place dans l’ordre les deux axes et les unités. On construit ensuite toutes les droites asymptotes. On place ensuite les points importants avec leur tangente (points à tangente verticale, horizontale, points singuliers, points d’intersection avec une droite asymptote,.. ).

Tout est alors en place pour la construction et on peut tracer l’arc.

• 7. Points multiples

On cherche les points multiples s’il y a lieu.