Courbes paramétrées
En coordonnées
cartésiennes
Exemples
En coordonnées
polaires
Exemples
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Mathématiques :
Courbes planes paramétrées
Courbe paramétrée: exemple 2
Courbe paramétrée: exemple 2
On veut étudier la courbe paramétrée par:
x(t) = 2t3 + 3 t2
y(t) = 3t4 + 4 t3
1. Domaine de définition
Les fonctions x et y sont définies sur .
2. Dérivées et points singuliers:
x'(t) = 6t(t + 1) et
y'(t) = 12t2(t + 1)
Les dérivées s’annulent en 0 et - 1.
Les deux points singuliers sont donc,
en ces deux valeurs, (0,0) et (1,-1).
3. Dérivées successives:
x"(t) = 6(2t + 1) et
y"(t) = 12t(3t + 2)
x(3)(t) = 12 ,
y(3)(t) = 24(3t + 1).
4. Notation vectorielle :
M(t) = M(to = 0) + t2(3,0) + 2t3(1,2) +
t4(0, 4)
M(to = 0) = (0,0)
M(t) = t2(3,0) + 2t3(1,2) +
t4(0, 4)
ou
(t) = t2 +
2t3 +
t4
avec = (3,0) ,
= (1,2) et
= (0,4)
• En t = 0:
f(0)(0) = (0,0)
f(1)(0) = (0,0)
f(2)(0) = (6,0)
f(3)(0) = (12,24)
p = min{k | f(k)(0) ≠ (0,0)} = 2
q = min{k | f(k)(0) n'est pas colinéaire
à f(2)(0)} = 3
p = 2 et q = 3 → (0,0) un point de
rebroussement de première espèce.
et la courbe est tangente à Ox en O.
• En t = - 1:
f(0)(-1) = (1,-1)
f(1)(-1) = (0,0)
f(2)(-1) = (- 6, 12)
f(3)(-1) = (12,- 48)
'(-1) = - 6 +
12
"(-1) = 12
- 48
p = min{k | f(k)(0) ≠ (0,0)} = 2
q = min{k | f(k)(0) n'est pas colinéaire
à f(2)(0)} = 3
p = 2 et q = 3 → (1,-1) est aussi un point de
rebroussement de première espèce.
le coefficient directeur de la tangente valant -2.
5. Intersection avec Ox:
En dehors de 0, l’ordonnée y s’annule en t = - 4/3 et
l’on obtient x(t) = 16/27.
• abscisse à l'origine: (16/27, 0)
6. Intersection avec Oy:
En dehors de 0, l’abscisse x s’annule en t = -3/2 et
l’on obtient y(t) = 27/16.
• ordonnée à l'origine: (0, 27/16)
7. Branches paraboliques
Nous avons:
y(t)/x(t) = (3t4 + 4 t3) / (2t3 + 3 t2)
= (3t2 + 4 t) / (2t + 3 ) ≈ (3/2)t.
Lorsque t tend vers - ∞, la fonction x tend vers -∞,
la fonction y vers +∞ et le rapport y/x vers -∞.
La courbe admet une branche parabolique dans la direction
des y positifs.
Lorsque t tend vers +∞, les fonctions x, y et y/x tendent
vers +∞. La courbe admet de nouveau une branche parabolique
dans la direction des y positifs
8. Tableau de variation
9. Tracé de la courbe
Code Gnuplot correspondant:
reset
set xtics 1
set ytics 1
set grid
set parametric
set isosamples 10,10
set xrange [-5:7]
set yrange [-3:5]
set ylabel "Y"
set xlabel "X"
set title "courbe de x(t) = 2t3 + 3t2,
y(t) = 3t4 + 4t3
plot 2*t*t*t + 3*t*t, 3*t*t*t*t + 4*t*t*t
9. Points doubles
On considère le système:
2t13 + 3 t12 =
2t23 + 3 t22
3t14 + 4 t13 =
3t24 + 4 t23
avec t1 différent de t2.
Si l’on pose
S = t1 + t2 et P = t1t2 ,
On obtient le système en fonction de S et P.
2(S2 - P) + 3S = 0
3S(S2 - 2P) + 4(S2 - P) = 0 .
En remplaçant 2P par sa valeur dans la seconde équation,
il vient:
S(S2 + 3S + 2) = 0 .
• Lorsque S = 0, on en tire P = 0, ce qui donne t1 = t2 = 0.
On retrouve un point singulier.
• Lorsque S = -2, on en tire P = 1, ce qui donne t1 = t2 = -1.
On retrouve l’autre point singulier.
•Lorsque S = -1, on en tire P = -1/2. Le trinôme
T(X) = X2 - SX + P = X2 + X -1/2
admet les racines X = 1/2 et y = 1/4
Le point double a donc pour coordonnées (1/2, 1/4).
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