Mécanique:
Systèm à deux corps
Collision élastique
Conservation de l'énergie cinétique
Conservation de la quantité de mouvement

Une collision est dite élastique lorsque le choc des deux corps se produit sans déformation des corps, sans modification de leurs masses et sans augmentation de leur énergie interne.

Dans une collision élastique la quantité de mouvement ET l’énergie cinétique des corps se conserve.

Dans ce type de collision, le problème reste à trouver les vitesses des corps après le choc.

1. Collision élastique à une dimension

Une collision est dite à une dimension ou directe (head on), lorsque les corps qui entrent en collision sont en mouvement suivant un ligne droite (axe horizontal), avant et après la collision.

Écrivons les deux lois de conservation:

On projette les vecteurs collisions sur un axe horizontal de signe positif à droite.

La conservation de la quantité de mouvement a été écrite en projection sur l’axe horizontal.

M1v1 + M2v2 = M1v^*1 + M2v^*2
(1/2)M1v1² + (1/2)M2v2² = (1/2)M1v1^*2 + (1/2)M2v2^*2

On résout ce système et on obtient:

$$\large\color{blue}{ v^*_1 = \frac{2M_2v_2 + v_1(M_1 - M_2)}{M_1 + M_2} \\ v^*_2 = \frac{2M_1v_1 + v_2(M_2 - M_1)}{M_1 + M_2} }$$

Cas particulier : Le corps 2 est immobile

Dans l cas où le corps 2 est immobile v2 = 0, la collision d’un projectile sur une cible au repos , on les vitesses suivantes:

$$\large\color{green}{ v^*_1 = \frac{v_1(M_1 - M_2)}{M_1 + M_2} \\ v^*_2 = \frac{2M_1v_1}{M_1 + M_2} }$$

• le projectile est beaucoup plus léger que la cible

Dans le cas où le projectile est beaucoup plus léger que la cible (M1 < M2), on aura
$$\large\color{brown}{ v^*_1 = - v_1 \\ v^*_2 = 0 }$$
Le projectile revient en arrière avec une vitesse identique à celle qu’il avait initialement; la cible reste immobile du fait de son inertie.

• le projectile est beaucoup plus lourd que la cible

Dans le cas où le projectile est beaucoup plus lourd que la cible (M2 < M1), on aura
$$\large\color{brown}{ v^*_1 = v_1 \\ v^*_2 = 2 v_1 }$$
La cible part avec une vitesse double par rapport à celle qu’avait initialement le projectile.

• le projectile et la cible ont la même masse

Dans le cas où le projectile et la cible ont la même masse (M2 = M1), on aura
$$\large\color{brown}{ v^*_1 = 0 \\ v^*_2 = v_1 }$$ Il y a transfert de vitesse.

2. Collision élastique à deux dimensions

Une collision est dite à deux dimension ou plane , lorsque les corps qui entrent en collision ne sont pas en mouvement suivant un ligne droite (axe horizontal).

Pour determiner les vitesses après la collision, on doit projeter les vitesses sur deux axes Ox et Oy du plan perpendiculaires entre eux. Les deux lois de conservation s'ecrivent donc:

M1v1x + M2v2x = M1v^*1x + M2v^*2x
M1v1y + M2v2y = M1v^*1y + M2v^*2y

M1(v1x² + v1y²) + M2(v2x² + v2y²) = M1(v1x^*2 + v1y^*2) + M2(v2x^*2 + v2y^*2)

Ainsi, on a trois équations et quatre inconnues. Avec les quatre conditions initiales (v1x, v1y, v2x, v2y), on ne pourra pas trouver toutes les quatres inconnues v1x^*, v1y^*, v2x^*, v2y^* sans qu'un paramètre soit fixé .