Mécanique:
Mouvement du système dans (R)
Mouvement du système dans (B)

Mouvement du système dans (R)

Si les vecteurs position $\vec{\mathbf{OM_1}}$ et $\vec{\mathbf{OM_2}}$ des particules M1 et M2 changent, alors ces points meuvent à des vitesses $\frac{d\vec{\mathbf{OM_1}}}{dt} = \vec{\mathbf{v_1}}$ et $\frac{d\vec{\mathbf{OM_2}}}{dt} = \vec{\mathbf{v_2}}$

Si les vitesses $\vec{\mathbf{v_1}}$ et $\vec{\mathbf{v_2}}$ des particules M1 et M2 changent, alors ces points meuvent à des accélérations $\frac{d^2\vec{\mathbf{OM_1}}}{dt^2} = \vec{\mathbf{a_1}}$ et $\frac{d^2\vec{\mathbf{OM_2}}}{dt^2} = \vec{\mathbf{a_2}}$

Donc soumis à des forces EXTÉRIEURES $\vec{\mathbf{F_1}} = \text{(m1)}\vec{\mathbf{a_1}}$ et $\vec{\mathbf{F_2}} = \text{(m2)}\vec{\mathbf{a_2}}$.

La dynamique du centre de masse G découle de sa définition:

$$\color{red} { \text{(m1 + m2)}\vec{\mathbf{OG}} = \text{(m1)}\vec{\mathbf{OM_1}} + \text{(m2)}\vec{\mathbf{OM_2}} }$$
C'est à dire, en dérivant deux fois par rapport au temps:
$$\color{blue} { \text{(m1 + m2)}\vec{\mathbf{a_G}} = \text{(m1)}\vec{\mathbf{a_1}} + \text{(m2)}\vec{\mathbf{a_2}} }$$
L'équivalent des forces $\vec{\mathbf{F_1}}$ et $\vec{\mathbf{F_2}}$ st une force fictive $\vec{\mathbf{F_G}}$, en G, égale à $\text{(m1 + m2)}\vec{\mathbf{a_G}}$ :
$$\large\color{green} { \vec{\mathbf{F_G}} = \text{(m1 + m2)}\vec{\mathbf{a_G}} = \text{(m1)}\vec{\mathbf{a_1}} + \text{(m2)}\vec{\mathbf{a_2}} }$$

Mouvement du système dans (B)

Dans le référentiel barycentrique (B), les vecteurs positions, des points M1 et M2 sont évalués à partir du barycentre G:

$\vec{\mathbf{GM_1}}$ et $\vec{\mathbf{GM_2}}$

et l'on sait d'après la définition du barycentre que:

$\large\color{teal} { \text{(m1)}\vec{\mathbf{GM_1}} + \text{(m2)}\vec{\mathbf{GM_2}} = \vec{\mathbf{0}} }$

Donc, dans (B), en dérivant deux fois par rapport au temps:

$$\large\color{red} { \text{(m1)}\vec{\mathbf{a_1}} + \text{(m2)}\vec{\mathbf{a_2}} = \vec{\mathbf{0}} }$$    c'est à dire    $$\large\color{blue} { \vec{\mathbf{F_1}} + \vec{\mathbf{F_2}} = \vec{\mathbf{0}} }$$
La somme des forces INTÉRIEURES au système est nulle.