Mécanique:
Système isolé à deux corps
Quantité de mouvement

1. Quantité de mouvement d'un corps

La quantité de mouvement, appelée aussi résultante cinétique, d'un corps de masse m et animé d'une vitesse $\vec{\mathbf{v}}$, dans le référentiel (R) de centre O, est par définition égale à :

$$\large\color{green}{\vec{\mathbf{P}} = \text{(m)} \vec{\mathbf{v}} }$$ La quantité de mouvement renseigne sur l'impact que peut avoir un corps d'une certaine masse et d'une certaine vitesse simultanément.

2. Quantité de mouvement du système à deux corps

1. Dans le référentiel (R) du laboratoire

La quantité de mouvement du système à deux corps est la somme des quantités de mouvement des masses M1 et M2:

Dans le référentiel (R) de centre O:

$$\large\color{green}{\vec{\mathbf{P}} = \text{(m1)} \vec{\mathbf{v_{1O}}} + \text{(m2)} \vec{\mathbf{v_{2O}}} }$$
$\vec{\mathbf{v_{1O}}} = \frac{d\vec{\mathbf{OM_1}}}{dt}$ et $\vec{\mathbf{v_{2O}}} = \frac{d\vec{\mathbf{OM_2}}}{dt}$ sont les vitesses respectives des masses M1 et M2 par rapport au point O.

D’après la définition du centre d’inertie G , nous avons:

$\color{green} { \text{(m1 + m2)} \vec{\mathbf{OG}} = \text{(m1)} \vec{\mathbf{OM_1}} + \text{(m1)} \vec{\mathbf{OM_2}} }$     ou

$\color{green} { \text{(m1)} \vec{\mathbf{GM_1}} + text{(m1)} \vec{\mathbf{GM_2}} = \vec{\mathbf{0}} }$

En dérivant par rapport au temps, on obtient:

$\color{green} { \text{(m1 + m2)} \frac{d\vec{\mathbf{OG}}}{dt} = \text{(m1)} \frac{d\vec{\mathbf{OM_1}}}{dt} + \text{(m2)} \frac{d\vec{\mathbf{OM_2}}}{dt} }$     ou

$\color{blue} { \text{(m1 + m2)}\vec{\mathbf{v_G}} = \text{(m1)} \vec{\mathbf{v_{1O}}} + \text{(m2)} \vec{\mathbf{v_{2O}}} }$

$\color{read} { \vec{\mathbf{v_G}} = \frac{d\vec{\mathbf{OG}}}{dt} }$ est la vitesse du centre de masse dans (R).

La quantité de mouvement du système dans (R) est:

$$\large\color{brown} { \vec{\mathbf{P_O}} = \text{(m1 + m2)}\vec{\mathbf{v_G}} = \text{(m1)} \vec{\mathbf{v_{1O}}} + \text{(m2)} \vec{\mathbf{v_{2O}}} }$$
• Avec m = m1 + m2, la masse totale du système, on peut alors ecrire:

$$\large\color{teal} { \vec{\mathbf{P_O}} = \text{(m1)} \vec{\mathbf{v_{1O}}} + \text{(m2)} \vec{\mathbf{v_{2O}}} = \text{(m)}\vec{\mathbf{v_G}} }$$
La quantité de mouvement du système est égale à la quantité de mouvement d’un point fictif situé en G qui porte toute la masse du système et meut à la vitesse $\vec{\mathbf{v_{G}}}$.

2. Dans le référentiel du centre
de masse ou barycentrique (B)

Dans le référentiel barycentrique (B) de centre G, on a:

$\color{green} { \text{(m1)} \vec{\mathbf{GM_1}} + \text{(m1)} \vec{\mathbf{GM_2}} = \vec{\mathbf{0}} }$

En dérivant par rapport au temps, on obtient:

$\color{mroon} { \text{(m1)} \frac{d\vec{\mathbf{GM_1}}}{dt} + \text{(m2)} \frac{d\vec{\mathbf{GM_2}}}{dt} = \vec{\mathbf{0}} }$     ou

$\color{maroon} { \text{(m1)} \vec{\mathbf{v_{1G}}} + \vec{\mathbf{v_{2G}}} = \vec{\mathbf{0}} }$

La quantité de mouvement du système dans (B) est:

$$\large\color{brown} { \vec{\mathbf{P_G}} = \text{(m1)} \vec{\mathbf{v_{1G}}} + \text{(m2)} \vec{\mathbf{v_{2G}}} = \vec{\mathbf{0}} }$$
La résultante cinétique du système à deux corps dans le référentiel du centre de masse est nulle.