Maths
- 2 -
Algèbre
© The scientific sentence. 2010
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Mathématiques 2: Algèbre:
Valeur exacte d'un
nombre réel
1. Valeur exacte d'un nombre réel
Un entier naturel, un entier relatif et un nombre rationnel
(décimal ou périodique) sont des valeurs exactes. Les seuls nombres
qui n'ont pas de valeurs exactes sont les nombres irrationnels.
La division 16.35 ÷ 5 se termine, on dit aussi qu'elle «tombe juste ;».
L'écriture décimale 3.27 est donc la valeur exacte du quotient.
On peut écrire 16.35 ÷ 5 = 3.27.
Les nombres décimaux sont les nombres égaux au quotient d’un entier relatif par une
puissance de 10 (c’est à dire 1, 10, 100, 1000, 10000, etc.).
Les nombres rationnels (ou fractionnaires) sont les nombres qui sont égaux au
quotient de deux nombres entiers relatifs, c’est à dire à des fractions.
L’ensemble des nombres rationnels se note Q.
355 ÷ 8 = 44.375
Ici, le quotient de 355 par 8 qui est 44.375 est exact au millième près.
Mais on peut l'approcher au centième, ou au dixième, ou à l'unité près.
La troncature, ou l'arrondi, ou l'approche (par excès ou par défaut)
ne sont nécessaires que pendant l'ecriture développée d'un nombre
irrationnel ou d'un nombre rationnel périodique.
2. Valeur approchées en notation scientifique
On peut faire aussi les opérations de troncature, ou d'arrondi, ou d'approche
sur les décimaux ou périodiques ecrits en notation scientifique,
qui est un cas particulier de la notation flottante.
Un nombre flottant ou nombre à virgule flottante comporte une mantisse
et un exposant.
La virgule flottante est une méthode d'écriture de nombres réels
fréquemment utilisée informatique.
Elle consiste à représenter un nombre sous la forme : s m b e .
s est un signe (égal à -1 ou 1), m est la mantisse, e l' exposant (entier relatif),
et b est la base de représentation . La mantisse m est représentée par une
suite de chiffres en base b.
Par opposition à la représentation courante des nombres à virgules dite
en virgule fixe, où l'exposant e est fixé; en faisant varier l'exposant
e, on fait « flotter » la virgule décimale.
Sur la mantisse m on choisit de placer une virgule à une certaine position .
Ainsi la valeur de l'exposant dépend de ce choix.
Un nombre en virgule flottante est l'équivalent informatique
de la notation scientifique, qui correspond à la convention
de placer la virgule juste après le premier chiffre.
3. Nombres irrationnels
Un nombre irrationnel est soit un nomre algébrique,
soit un nombre transcendant.
Un nombre algébrique est un nombre qui est solution de l'équation
polynomiale :
an xn + an-1 xn + ... +
a2x2 + a1x + a0 = 0.
où n est un entier naturel et les coefficients ai sont des entiers
relatifs dont au moins un est non nul.
Tout nombre entier, ou relatif, ou rationnel a est algébrique, car
il est racine de l'équation x – a = 0.
Un nombre irrationnel peut être ou non algébrique. Par exemple √2
est algébrique, car il est solution de x2 – 2 = 0.
Le nombre complexe i est algébrique, car il est racine de l'équation x2 + 1 = 0.
Les nombres non algébriques sont dits transcendants.
Les plus connus sont les suivants:
• le nombre d'Euler: e = 2.71828182845904... , et
• le nombre pi: π = 3.14159265358979...
Un nombre transcendant est un nombre réel ou complexe qui n'est
racine d'aucune équation polynomiale.
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