Mathématiques: Le brevets

Brevet des collèges
Amérique du Nord 7 juin 2011.

Activités numériques

Exercice 1

Trois nombres entiers relatifs consécutifs rangées dans l'ordre croissant sont choisis par le professeur: x, x + 1 et x + 2.

Calcul de Leslie: Le produit du troisième nombre par le double du premier est égal à (x + 2) (2x ) = 2x( x + 2).

Calcul de Jonathan: Le carré du deuxième nombre est (x + 1)². On lui ajoute 2 et on obtient: (x + 1)² + 2.

1. a.
L'ecriture de Leslie: 11 x (2 x 9) donne 11 x 18 = 198. L'ecriture de Lonathan: 10² + 2. donne 100 + 2 = 102.

b.
Dans ce cas le chois du professeur était x = 9. Ainsi les nmbres choisis sont 9, 10, et 11.

2. Le professeur choisi maintenant 3 nouveaux entiers: Le calcul de Leslie et le calcul de Jonathan donnent le même résultat.

Celà veut dire que 2x(x + 2) = (x + 1)² + 2

a. Le deuxième nombre est égal à x + 1.

Si x + 1 = 6 , donc x = 5 et
Calcul de Leslie: (2)(5) (5 + 2) = (2)(5)(7) = 70 , et
Calcul de Jonathan: (5 + 1)² + 2 = 36 + 2 = 38

Ls résultats sont différents. Le professeur n'a pas choisi 6 comme deuxième nombre.

b.
Si x + 1 = - 7 , donc x = - 8 et
Calcul de Leslie: (2)(- 8)(- 8 + 2) = (2)(- 8)(- 6) = 96 , et
Calcul de Jonathan: (- 8 + 1)² + 2 = 49 + 2 = 51

Ls résultats sont différents. Le professeur n'a pas choisi -7 comme deuxième nombre.

c.
Arthur fait le calcul suivant:

• Il prend pour inconnue le deuxième nombre entier.
• Il l'appelle n.
• Il trouve que les nombres consécutifs qu'il cherche sont donc: n - 1, n et n + 1.
• Il fait les deux calculs:
Le calcul de Leslie est (2)(n - 1)(n + 1) ,
Le calcul de Jonathan est: n² + 2 .
• Ces résultats doivent être les mêmes, il forme donc l'équation:
(2)(n - 1)(n + 1) = n² + 2
• Il développe les deux membres de l'équation en utilisant l'indentité remarquable de la différence des carrés: (n - 1)(n + 1) = n² - 1. Il obtient:
(2)(n - 1)(n + 1) = n² + 2
2(n² - 1) = n² + 2
2n² - 2 = n² + 2
2n² - n² = 2 + 2
• Il réduit et il obtient:
n² = 4.

• Il résoud cette équation et trouve:
n = + 2 ou n = - 2.
• Il calcul ainsi les valeurs des nombres choisis:

Pour n = 2, il ecrit les nombres consécutifs
1, 2, et 3.

Pour n = - 2, il ecrit les nombres consécutifs
- 3, - 2, et - 1.

Exercice 2

La lumière parcourt en 1 seconde 300 000 km.

1. D'un satellite à la terre, elle met 1/75 de seconde.

La distance qui sépare le satellite à la terre est donc:

(1/75 sec) x (300 000 km/sec) = 4000 km.

2. Du soleil à la terre, elle met 8 mn 30 s = 8 x 60 + 30 = 510 s.

La distance qui nous sépare du soleil est donc égale à :

510 s x 300 000 km/s = 153 000 000 km.

En écriture scientifique: 1.53 x 10⁸ km.

Exercice 3

1.A
On développe l'expression en utilisant l'indentité remarquable de la différence des carrés:
(x + 1)² - 9 = (x + 1)² - 3² =
(x + 1 - 3)(x + 1 + 3) = (x - 2)(x + 4)

2.B
5ⁿ x 5^m = 5^{n + m}

3.C
On respecte la priorité des opération: d'abord la division et ensuite la sustraction:
(7/3) - (4/3)÷(5/2) = (7/3) - (4/3) x (2/5) =
(7/3) - (8/15) = (35/15) - (8/15) = 27/15

4.B
774 et 338 sont divisibles tous les deux par 2 puisqu'ils se terminent par 2, 4, 6, ou 8. Ils ne sont pas premiers entre eux.

63 = 3² x 7 et 44 = 2² x 11 n'ont aucun diviseur commun. Ils sont donc premiers entre eux.

1035 et 774 sont tous les deux divisibles par 9 parce que la somme de leurs chiffres est divisibles par 9. Ils ne sont pas premiers entre eux.

5.C
1.52 x 10³ est la seule expression qui respecte la notation scientifique.

Activités gémétriques

Exercice 1

1. Vue de l'arrière du solide:

2. Le volume du solide est égal à:

V = volume des 6 cubes + volume du prisme =
6 x (4 x 4 x 4) + (1/2) x (4 x 4 x 2) = 6 x 64 + 16 =
400 cm³.

3.a. Ce prisme droit est un prisme à base triangulaire. La surface triangulaire est la seule surface qui a une surface qui lui est égale et parallèle.

3.b. ∠B est un angle droit. En applicant le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle ABC, on trouve:

AC² = AB² + BC²

Nous avons AB = BC = 4 cm, puisque les segments [AB] et [BC] sont les arrêtes du cube.

Ainsi AC² = 2AB². D'où AC = AB √2 = 4√2 cm.

3.c. L'aire de la face rectangulaire ACFD est égale à AC x CF = 4 √2 cm x 2 cm = 8√2 cm² = 1131 mm².

Exercice 2

1. On cherche la valeur exacte de la distance BC.

The théorème de Pythagore permet d'ecrire:

BA² = BC² + CA². D'où:

BC² = BA² - CA² =
30² - 25² = 900 - 625 = 275 = 11 x 25

Donc BC = 5√11 cm.

2. On cherche la valeur de la distance BD au mm près.

BD = BC + CD

CD/AC = tg(49°). D'où CD = 25 tg(49°) =
25 x 1.150 = 28.7592 cm.

Ainsi

BD = 5√11 + 25 tg(49°) = 16.5831 + 28.7592
= 45.342 cm = 453 mm.

BD = 453 mm.

Exercice 3

Les droites (SA) et (OK) sont parallèles. On sait que SA = 5 cm, OA = 3.8 cm, OR = 6.84 cm, et KR = 7.2 cm.

1. Calculer la mesure du segment [AR]

AR = OR - OA = 6.84 - 3.8 cm = 3.04 cm.

AR = 3.04 cm.

2. Calculer la mesure du segment [OK]

Les droites (OR) et (KR) sont sécantes en R.
Les droites (SA) et (OK) sont parallèles.
Le théorème de Thalès s'ecrit:

RA/RO = AS/OK. D'où OK = AS x RO/RA = 5 x 6.84/3.04 = 11.25 cm.

OK = 11.25 cm.

3. Calculer le périmètre du triangle KRO

P = KR + RO + OK = 7.2 + 6.84 + 11.25 = 25.29 cm

Périmètre du triangle KRO = 25.29 cm.

Problème

Le théatre reçoit environ 500 spectateurs quand le prix d'une place est de 20$.

Chaque réduction de 1$ du prix d'une place attire 50 spectateurs de plus.

Partie 1

Partie 2

1. Une réduction de 2 $ correspond à une recette de 10 800 $.

2. le montant de la réduction correspondant à une recette de 4050 $ est environ 17 $.

3. L'image de 8 par la fonction R(x) est:
R(8) = 10 000 + 500 x 8 - 50 x 8² = 10 800 $.

Pour une réduction de 8 $ du prix d'une place, comme pour la réduction de 2 $, la recette du théâtre est de 10 800 $.

4. La recette maximale correspond à une réduction de 5 $. Cette recette maximale est de 11 250 $.

Partie 3

La largeur des allées est de 2 m.

On peut placer en moyenne 1.8 sièges par m².

On veut calculer le nombred eplaces disponibles dans ce théâtre.

L'aire des deux quarts de disque est:
2 x (1/4) π 13² = 265.46 m².

La petite base d'un trapèze est égale à (16 - 2)/2 = 7 m.

L'aire des deux trapèzes est 2 x (13 + 7) x 10/2 = 200 m²

L'aire totale de la zone des sièges est égale à la somme de l'aire des deux quarts de disques et de celle des deux trapèzes:

265.46 m² + 200 m² = 465.46 m²

Le total des sièges est donc 465.46 x 1.8 = 837.83 sièges.

Le nombre de places disponibles dans ce théâtre est 838.

Le nombre de places dues à des réductions est égal à:

838 - 500 = 338 places

Ce qui correspond à une limite de 338 /50 = 6.76 ≈ 7 $ de réduction au maximum.