Conversions    
 
  Numération   
 
  Échelles   
 
  sin & cos Laws   
 
  Carré de Dürer   
 
  Units   
 
  home  
 
  ask us  
 

 

Mathématiques
2





© The scientific sentence. 2010


Mathématiques 2:
Triangles semblables




Les figures géométriques sont congruentes ou isométriques si elles ont la même taille et la même forme. Dans cette section, nous étudierons les figures géométriques qui ont la même forme, mais pas nécessairement de la même taille. Ces figures géométriques sont appelés figures semblables ou similaires.



L'utilisation des triangles semblables a rendu possible les mesures des hauteurs et des distances inaccessibles.



1. Figures semblables

Deux figures sont semblables si l'une est un agrandissement, une réduction ou la reproduction exacte de l'autre.

Dans deux figures semblables, les angles homologues sont isométriques et les mesures des côtés homologues sont proportionnelles.

Le rapport de similitude est égal au rapport de la mesure d'un côté de la figure image et de la mesure d'un côté de la figure initiale

Rapport de similitude = (mesure d'un côté de la figure image)/(mesure d'un côté de la figure initiale)



2. Triangles semblables

Deux triangles sont semblables si:

(i) leurs angles homologues sont isométriques (ou)

(ii) leurs côtés homologues sont proportionnels.


Ainsi, deux triangles ΔABC et ΔA'B'C' sont semblables (similaires) si:

(i) ∠A = ∠A' ∠B = ∠B' ∠C = ∠C' (ou)

(ii) A'B'/AB = B'C'/BC = C'A'/CA


Les sommets A, B et C correspondent aux sommets A', B' et C' respectivement.

Symboliquement, nous écrivons la similitude de ces deux triangles comme ΔABC ∼ ΔDEF et on lit: ΔABC est semblable au ΔA'B'C'. Le symbole ∼ signifie semblable à.



3. Critères de similitude des triangles

Il y a trois critères qui sont suffisants pour prouver que deux triangles sont semblables:

(i) Critère de similitude AA (Angle-Angle):

Si deux angles d'un triangle sont respectivement égaux à deux angles de l'autre triangle, alors ces deux triangles sont semblables.

Remarque:

Si deux angles d'un triangle sont respectivement égaux à deux angles d'un autre triangle leurs troisièmes angles seront aussi égaux. Ainsi, le critère de similarité AA est aussi appelé critères AAA.





(ii) Critère de similarité CAC(Côté-Angle-Côté):

Si une angle d'un triangle est isométrique à un angle d'un autre triangle et si les côtés correspondants de ces angles sont proportionnels, alors les deux triangles sont semblables.





(iii) Critère de similarité CCC (Côté-Côté-Côté):

Si les côtés d'un triangle sont proportionnelles (dans le même rapport) aux côtés de l'autre triangle, donc leurs angles homolgues sont isométriques; ainsi les deux triangles sont semblables.



4. Applications


4.1. Hauteur de la pyramide



On cherche la hauteur AB de la pyramide. L'ombre de la pyramide est égale au côté BE du triangle ABE.

On plante verticalement une tige CD. Son ombre est le côté CE du triangle CDE.

On les dimensions suivantes:
BE = 200 m
CD = 1.75 m
CE = 2.5 m


On démontre d'abord que les triangles ABE et DCE son semmblables.

Soit AB et ED les hauteurs de la pyramide et de la tige respectivement. Soit E le point de rencontre des deux ombres.

∠ABE = ∠DCE = 90°
∠AEB = ∠DEC

Donc

Δ ABE ∼ Δ DEC (Critère de similitude AA)

Ainsi

EC/EB = DC/AB (côtés homologues proportionnells)

Il vient:

AB = EB x DC/EC

AB = EB x DC/EC = 200 x 1.75/2.5 = 140.00 m

La hauteur de la pyramide est de 140 mètres.



4.2. Largeur d'une rivière




On cherche la largeur AB. On marque deux droites parallèles DB et EC. Par la vue on aligne les points A, B et C d'une part et A, D et E d'autre part.
Dans la rive où on se place on connait les mesures des segments [B,C] , [B,D] et [C,E] , ce qui nous permet de calculer AB à partir des rapports de similitude AB/AC = BD/CE.
Comme AC = AB + BC, donc
AB = BC x BD/(CE - BD)

AB = BC x BD/(CE - BD)

BC = 33 m, CE = 20 m, BD = 8 m

AB = 33 x 8/(20 - 8) = 33 x 2/3 = 22 m

La largeur de la rivière est de 22 mètres.



4.3. Profondeur d'un puits



On peut utiliser les rapports de similitude pour mesurer la profindeur d'un puit.

Une personne mesurant 1.70 m de long se place à 1 m du bord du puits de 1,50 m de diamètre et regarde le coin au fond du puits.

Cette situation permet de calculer la profondeur du puits:

y = hd/x



4.4. Hauteur d'un arbre avec un miroir

Une personne de 1.75 m de long voit le sommet d'un arbre dans un miroir placé sur le sol à 0.50 m de son pieds et à une distance de 50.00 m du pieds de l'arbre.

La personne et l'arbre sont debout perpendiculaires au sol. Le pied de la personne, le miroir et le pied de l'arbre sont alignés, c'est à dire qu'ils se trouvent le long d'une ligne droite.

Quelle est la hauteur de l'arbre?


Solution

On démontre d'abord que les triangles son semmblables.

Soit AB et ED les hauteurs de la personne et de l'arbre respectivement. Soit C le point sur le miroir où on voit le sommet de l'arbre.

∠ABC = ∠EDC = 90°
∠BCA = ∠DCE

Donc

Δ ABC ∼ Δ EDC (Critère de similitude AA)

Ainsi

ED/AB = DC/BC (côtés homologues proportionnells)

Il vient:

ED = AB x DC/BC

ED = AB x DC/BC = 1.75 x 50/0.5 = 175.00 m

La hauteur de l'arbre est de 175 mètres.



5.5. Hauteur d'un palmier avec caméra



L'image d'un palmier sur le film d'une caméra est de longueur 33 mm, la distance entre la lentille de l'objectif et le film est de 43 mm et la distance entre l'objectif et le palmier est de 5.50 m. Quelle est la hauteur du palmier photographié?

Solution

Soit DE et AB les hauteurs de l'arbre et de son image sur le film, respectivement. Le point C désigne la lentille de l'objectif.

Le distances CN et CM representent les hauteurs des triangles ABC et DEC. M est le milieu du côté DE et N le milieu du côté AB. AB est parallèel à DE.

Les triangles ANC et EMC sont semblables. On peut donc ecrire:

CN/CM = AN/EM = 2AN/2EM = AB/DE

Donc DE = AB x CM/CN

DE = 0.033 x 5.5/0.043 = m

La hauteur du palmier est de 4.22 m.






  


chimie labs
|
Physics and Measurements
|
Probability & Statistics
|
Combinatorics - Probability
|
Chimie
|
Optics
|
contact
|


© Scientificsentence 2010. All rights reserved.