Maths
- 45 -
Les coniques
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Mathématiques 45: Géométrie:
Les coniques: L'ellipse
1. Définition de l'ellipse
Une ellipse est un lieu géométrique. Tous
les points sur l'ellipse sont à même somme des deux distances de deux points fixes sur l'axe appelés foyers de l'ellipse.
d(P, F1) + d(P, F2) = Constante.
2. Propriétés de l'ellipse centrée à l'origine
Le centre de l’ellipse est le point milieu
du segment joignant les deux foyers F1 et F2.
L'axe transversal est la droite qui passe par les foyers.
L'axe conjugué est la droite perpendiculaire à l’axe transversal passant par le centre de l'ellipse
.
Les sommet sont les points (- a, 0),
(+ a, 0), (0, + b) et (0, - b). Ce sont
chacune des intersections de l’ellipse avec ses axes.
Le grand axe est le segment de l’axe transversal qui relie les deux sommets.
Le petit axe est le segment de l’axe conjugué qui relie les deux sommets.
1. Si les foyers sont sur l’axe des x:
F1(- c, 0) et F2(+ c, 0).
d(P,F1) + d(P,F2) = 2a
c2 = a2 – b2
2. Si les foyers sont sur l’axe des y:
F1(0, - c) et F2(0, +c).
d(P, F1) + d(P, F2) = 2b
c2 = b2 – a2
La mesure du grand axe
est toujours égale à la
somme
des distances aux
foyers.
2. Équation de l'ellipse centrée à l'origine
2.1. Sous la forme canonique
la forme canonique de l'équation d'une ellipse
est:
x2/a2 + y2/b2 = 1
On trouve cette formule en explicitant la formule d(P, F1) + d(P, F2) = 2a; avec P(x,y) un point
sur l'ellipse et F1(- c, 0), F2(+c, 0) les foyers de cette ellipse.
2.2. Sous la forme générale
la forme générale de l'équation de l'ellipse
est:
Ax2 + By2 + C = 0
A et B sont des constantes positives,
et C est une constante négative
On la calcule à partir de la forme canonique:
x2/a2 + y2/b2 = 1
b2x2/a2 + a2y2/b2 - a2b2 = 0
Avec:
A = b2/a2
B = a2/b2
C = - a2b2
3. Équation de l'ellipse centrée au point(h, k)
3.1. Sous la forme canonique
la forme canonique de l'équation d'une ellipse
centrée au point(h, k) est:
(x - h)2/a2 + (y - k)2/b2 = 1
3.2. Sous la forme générale
la forme générale de l'équation de l'ellipse
centrée au point(h, k) est:
A(x - h)2 + B(y - k)2 + C = 0
A et B sont des constantes positives,
et C est une constante négative.
4. Exemples
4.1. Exemple 1:
Donner l’équation de cette ellipse:
a = 9 et b = 3.
L’équation canonique de cette ellipse est donc:
x2/81 + y2/9 = 1
Sous forme générale, on a:
x2 + 9y2 - 81 = 0
4.2. Exemple 2:
Donner l’équation de cette ellipse:
On a:
b = 3, c = 2. L'axe de l'ellipse est transversal vertical, donc b > a. D'où
c2 = b2 – a2
Ainsi:
a2 = b2 – c2
32 – 22 = 5
a = √5.
L'équation de l'ellipse centrée à l'origine
est :
x2/5 + y2/9 = 1.
4.3. Exemple 3:
On cherche les coordonnées
des sommets et des foyers de la conique
d'equation suivante:
x2 /49 + y2/36 = 1
On a donc a = 7 et b = 6. L'axe de l'ellipse est transversal horizontal, a > b. D'où
c2 = a2 – b2 =
72 – 62 = 49 - 36 = 13
c = √13.
Les coordonnées des sommets (7,0),
(- 7,0), (0, 6), et (0, -6).
Les coordonnées des foyers:
(√13, 0) et (- √13,0).
4.4. Exemple 4:
Donner l’équation de cette ellipse:
b = 6 et a = 5
b > a, on a donc une ellipse
d’axe vertical transversal.
Les sommets sont:
(2, 2), (-8 , 2), (-3, 8), et (-3, - 4).
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