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Maths
- 45 -




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Mathématiques 45: Géométrie:
Les coniques: Le cercle



1. Définition du cercle



Un cercle est un lieu géométrique. Tous les points sur le cercle sont à même distance r, appelé rayon, d’un point fixe O appelé centre du cercle.



2. Équation du cercle

2.1. Equation du cercle: forme générale

la forme générale de l'équation d'un cercle est:

Ax2 + By2 + Cx + Dy + E = 0

A, B, C, D et E sont des constantes.



2.2. Equation du cercle: forme canonique

la forme canonique de l'équation d'une cercle est:

(x - h)2 + (y - k)2 = r2

(h, k) sont les coordonnées du centre du cercle.



3. Exemples


3.1. Exemple 1: Cercle centré à l’origine



La formule de la distance entre deux points, ou le théorème de Pythagore, nous donne cette équation.

d(P, O) = r =
√[(x - 0)2 + ( y - 0)2]

Ainsi:

x2 + y2 = r2

x2 + y2 - r2 = 0

est l'équation sous forme générale d'un cercle de rayon r sur un plan cartésien.

(x - 0)2 + (y - 0)2 = r2

est l'équation sous forme canonique d'un cercle de rayon r sur un plan cartésien.



3.2. Exemple 2: Cercle centré au point (h,k)


Le centre du cercle a pour coordonnées h et k.

La formule de la distance entre deux points, ou le théorème de Pythagore, nous donne cette équation.

d(P, O) = r =
√[(x - h)2 + (y - k)2]

Ainsi:

(x - h)2 + (y - k)2 = r2

(x - h)2 + (y - k)2 = r2

C'est l'équation sous forme caconique d'un cercle de rayon r sur un plan cartésien.

Pour obtenir la forme générale, il suffit de décomposer la forme canoique et obtenir une expression de la forme: Ax2 + By2 + Cx + Dy + E = 0



3.3. Exemple 3

Quelle est l’équation sous sa forme générale, de l'équation d'un cercle donnée sous sa forme canonique suivante:

(x - 2)2 + (y + 3)2 = 49

x2 - 4x + 4 + y2 + 6y + 9 = 49

x2 + y2 - 4x + 6y = 36

x2 + y2 - 4x + 6y - 36 = 0

est l'équation cherchée.



3.4. Exemple 4





a) Quelle est l’équation, sous sa forme canonique, du cercle illustré ci-contre?

h = - 2 , k = - 2 et r = 3

La forme canonique de l'équation du cercle est :

(x + 2)2 + (y + 2)2 = 9

Sa forme générale est:

x2 + 4x + 4 + y2 + 4y + 4 = 9

ou

x2 + y2 + 4x + 4y - 1 = 0



3.5. Exemple 5


Quelle est l’équation sous sa forme canonique, de l'équation d'un cercle donnée sous sa forme générale suivante:

x2 + y2 - 4x - 6y - 3 = 0

Il suffit de factoriser.

x2 + y2 - 4x - 6y - 3 =
x2 - 4x + 4 - 4 + y2 - 6y +9 - 9 - 3 =
x2 - 4x + 4 + y2 - 6y + 9 - 4 - 9 - 3 =
(x - 2)2 + (y - 3)2 - 16

Ainsi, la forme canonique s'ecrit:

(x - 2)2 + (y - 3)2 = 16

(x - 2)2 + (y - 3)2 = 42



3.6. Exemple 6



Exprimer l’équation suivante sous sa forme canonique.

3x2 + 3y2 + 6x - 6y - 21 = 0

Simplifier l'équation en divisant par 3:

x2 + y2 + 2x - 2y - 7 = 0

x2 + 2x + 1 - 1 + y2 - 2y + 1 - 1 - 7 = 0
x2 + 2x + 1 + y2 - 2y + 1 - 1 - 1 - 7 = 0
(x + 1)2 + (y - 1)2 - 9 = 0

L'équation cherchée est:

(x + 1)2 + (y - 1)2 = 32








  


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