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Maths
- 45 -




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Mathématiques 45: Géométrie:
Les coniques: : La parabole



1. Définition de la parabole



Une parabole est un lieu géométrique.

Tous les points sur la parabole sont à même distance d'un point fixe appelé foyer de la parabole et d’une droite fixe, appelée directrice.

d(P, F) = d(P, Q) = Constante.

Le sommet de la parabole est le point milieu entre son foyer et le point de la directrice intersectant l’axe de la parabole.

La directrice d'une parabole est une droite perpendiculaire à l'axe de la parabole.

L'axe de la parabole est l'axe de symétrie de la parabole.

La distance de valeur égale à c, entre le sommet O(0, 0) et le foyer F(0, c) s'appelle distance focale.


Exemple



Les distances entre les deux points P(3, 3/4) sur la parabole et Q(3, - 3) sur la directrice et le foyer de la parabole F(0, + 3) sont:

d(P, F) = √[(0 - 3)2 + (3 - 3/4)2] =
√[ 32 + (9/4)2] = √[ 9 + (9/4)2] = 15/4.

d(P, Q) = √[(3 - 3)2 + (- 3 - 3/4)2] =
√[(- 15/4)2] = 15/4.



2. Équation de la parabole centrée à l'origine

L'équation générale d'une parabole est de la forme:

Axe vertical: x2 = 4cy

Axe horizontal: y2 = 4cx


c est une constante.

☛ La position du foyer, c'est à dire la valeur de c, se mesure à partir du sommet.

Nous avons quatre cas possibles:

L'axe de la parabole est vertical
c > 0 : x2 = 4cy
c < 0 : x2 = 4cy

L'axe de la parabole est horizontal
c > 0 : y2 = 4cx
c < 0 : y2 = 4cx




Exemple



Quelle est l'équation de cette parabole?

La directrice X = 3 donne la valeur de c du foyer F .

c = - 3

L'équation de la parabole est donc:

y2 = 4 c x = 4 (-3) x = - 12 x

Si l'abscisse du point P est - 1/3, alors son ordonnée est:

y = √ [- 12 x (- 1/3)] = ± 2.



3. Équation de l'parabole centrée au point(h, k)

3.1. Axe vertical

Foyer (h, c + k)

Directrice : y = - c + k


l'équation d'une parabole centrée au point(h, k) est:

(x - h)2 = 4c(y - k)


Exemple :



L'équation:

(x - 2)2 = - 12(y + 1)

est une parabole d'axe vertical.

Son sommet est le point (h, k) = (2, - 1)

On calcule c:

- 12 = 4c . D'où c = - 3

Le foyer de la parabole est le point (h, c + k) = (2, - 3 - 1) = (2, - 4)


La directrice de la parabole est la droite d'équation :

y = - c + k = 3 - 1 = + 2.


3.2. Axe horizontal

Foyer (c + h, k)

Directrice : x = - c + h


l'équation d'une parabole centrée au point(h, k) est:

(y - k)2 = 4c(x – h)


Exemple :



L'équation:

(y + 2)2 = 8(x - 3)

est une parabole d'axe horizontal.

Son sommet est le point (h, k) = (3, - 2)

On calcule c:

8 = 4c . D'où c = + 2

Le foyer de la parabole est le point (c + h, k) = (2 + 3, - 2) = (5, - 2)


La directrice de la parabole est la droite d'équation :

Directrice : x = - 2 + 3 = + 1








  


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