Mathématiques 2: Exercices & problèmes divers

1. Exercices sur le rectangle

1.1. Aire maximale dans un rectangle

On considère un rectangle de longueur L et de largeur l. Sur une diagonale on déplace un point P d'une distance x à partir du smmet A. On obtient deux rectangles d'aires A1 et A2.

a) Montrer que les deux aires A1 et A2 sont égales.

b) Ou faut-il placer le point P pour que l'aire commune (A1 = A2) soit maximale?

1.2. Rectangle: resolution de problèmes

La base d'un rectangle mesure 7 cm de plus que la mesure de la hauteur. Le périmètre de ce rectangle est 30 cm. Quelles sont les mesures de la hauteur et de la base de ce rectangle?

2. Expressions algébriques

2.1. Répondre aux questions suivantes

Soit l'expression algébrique suivante:

4x² - 10 y² - 8 xy + 4 y² + 12.

a) Quel est le terme constant de cette expression?
b) Quel est le coefficient du 3^e terme?
c) Quel est le degré de ce polynôme?

2.2.Réduire les expressions suivantes

a) 2 a - 4 + 6a =
b) 3 x - 5,5 - 1.5 x + 2 =
c) 8 x + 2 - 7 x + 2 y =
d) 2 a - 5 b + 12 b - 3 a =
e) 2 xy + x - xy + 5 y =
f) 5 bc - 2 b - (3 bc - 9 b) =
g) 1.2 x + 2.8 y - xy - 1.8 y + 0.8 x =
h) 3x/2 + 4/5 - 5x/4 - 1/2 =
i) 6 xy - 5 x²y + 7 yx - (- 12 x²y + 3 xy) =

2.3. Suites numériques linéaires

a) Compléter la suite suivante :

rang n 1 2 3 4 5

terme t 5 8 11 ... ...

b) Déterminez la règle qui permet de calculer la valeur d'un terme y selon son rang n.

2.4. Suites numériques quadratiques

a) Compléter la suite suivante :

rang n 1 2 3 4 5

terme t 6 9 14 .. ...

b) Déterminez la règle qui permet de calculer la valeur d'un terme y selon son rang n.

2.5. Représentation graphique d'une
suite linéaire à partir des tables de valeurs

Représentater graphiquement les deux suites linéaires suivantes:

a)

x 1 2 3 5 10

y 5 7 9 13 23

Est- elle croissante ou decroissante?

b)

x 0 1 2 3 5

y 5 2 - 1 - 4 - 10

Est- elle croissante ou decroissante?

3. Exercices sur le théorème de Pythagore

3.1. Vérifier si un triangle est rectangle

Soit un rectangle ABCD de largeur a et de longueur b.

Le point M est le milieu de côté CD, le point N est le milieu du côté AD.

a) calculer l'aire du rectangle ABCD.

b) Calculer les aires A1, A2 et A3 des trois triangles NDM, MCB et ABN respectivement.

c) En déduire l'aire du triangle MNB

d) On pose:

BN = h
NM = x
MB = y

Calculer le carré du côté h, x et y

e) Utiliser le théorème de Pythagore pour montrer que le triangle NBM n'est pas rectangle.

f) Donner le pourcentage des aires A1, A3 et A par rapport à l'aire du rectangle ABCD.

g) Quelle doit être la relation entre les côtés a et b pour que le triangle NMB soit rectangle.