Mathématiques 45: Géométrie
La numération égyptienne

1. La fraction égyptienne

    Les égyptiens n'utilisaient que les nombres entiers positifs, leurs inverses et les deux fractions 2/3 et 3/4. À 165 km de Luxor, sur le relief du temple de Kôm Ombo, on peut voir une représentation de plusieurs fractions.

Les fractions 1/2, 2/3, et 3/4 étaient représentées chacune par un hiéroglyphe spécial. Les autres fractions, qui ne sont que des fractions unitaires (de numérateur 1) étaient représentées par un hiéroglyphe en forme de bouche sous lequel on inscrivaient le nombre correspondant au dénominateur.

Ce signe de numérateur égal à 1 peut prendre moins de place lorsque le nombre est grand. La fraction 1/413 s'ecrit:

2. Les fractions égyptiennes

Par définition, une fraction égyptienne est une somme de fractions unitaires, c'est-à-dire de fractions qui ont des numérateurs égaux à un et des dénominateurs entiers positifs tous différents les uns des autres.

Par exemple : 7/9 = 1/2 + 1/4 + 1/36 est une fraction dite égyptienne.

L'arithmétique égyptienne s'organise autour de quelques règles exposées dans les différents papyrus sous forme de tables.

• La division ou la multiplication d'un entier par 2,
• La décomposition de toute fraction en somme de fractions unitaires,
• Le calcul du 2/3 de toute fraction unitaire.

La table de "deux" du Papyrus de Rhind en est un exemple.

Le calcul du 2/3 d'une fraction unitaire se calculait comme par la formule

$$\large\bf{\frac{2}{3} \times \frac{1}{n} = \frac{1}{2n} + \frac{1}{6n} ,}$$ simplifiée lorsque l'entier n est pair, cette formule s'ecrit:
$$\bf\large{\frac{2}{3} \times \frac{1}{n} = \frac{1}{n + \frac{n}{2}} .}$$

3. La table de "deux" du Papyrus de Rhind

Le papyrus d'Ahmès ou de Rhind comportait 87 problèmes, d'arithmétique, de géométrie, ou d'arpentage. Ceux-ci nécessitaient pour leur résolution, de savoir décomposer une fraction de la forme 2/n en somme de fractions unitaires (de numérateur 1).

La table dite "de deux", se trouve en première position sur le Papyrus de Rhind. Elle répertorie les fractions dont le numérateur est 2 et dont le dénominateur varie de 3 à 101, et donne leur équivalent en somme de fractions unitaires.

2/3 = 1/2 + 1/6	2/5 = 1/3 + 1/15	2/7 = 1/4 + 1/28
2/9 = 1/6 + 1/18	2/11 = 1/6 + 1/66	2/13 = 1/8 + 1/52 + 1/104
2/15 = 1/10 + 1/30	2/17 = 1/12 + 1/51 + 1/68	2/19 = 1/12 + 1/76 + 1/114
2/21= 1/14 + 1/42	2/23 = 1/12 + 1/276	2/25 = 1/15 + 1/75
2/27 = 1/18 + 1/54	2/29 = 1/24 + 1/58 + 1/174 + 1/232	2/31 = 1/20 + 1/124 + 1/155
2/33 = 1/22 + 1/66	2/35 = 1/30 + 1/42	2/37 = 1/24 + 1/111 + 1/296
2/39 = 1/26 + 1/78	2/41 = 1/24 + 1/246 + 1/328	2/43 = 1/42 + 1/86 + 1/129 + 1/301
2/45 = 1/30 + 1/90	2/47 = 1/30 + 1/141 + 1/470	2/49 = 1/28 + 1/196
2/51 = 1/34 + 1/102	2/53 = 1/30 + 1/318 + 1/795	2/55 = 1/30 + 1/330
2/57 = 1/38 + 1/114	2/59 = 1/36 + 1/236 + 1/531	2/61 = 1/40 + 1/244 + 1/488 + 1/610
2/63 = 1/42 + 1/126	2/65 = 1/39 + 1/195	2/67 = 1/40 + 1/335 + 1/536
2/69 = 1/46 + 1/138	2/71 = 1/40 + 1/568 + 1/710	2/73 = 1/60 + 1/219 + 1/292 + 1/365
2/75 = 1/50 + 1/150	2/77 = 1/44 + 1/308	2/79 = 1/60 + 1/237 + 1/316 + 1/790
2/81 = 1/54 + 1/162	2/83 = 1/60 + 1/332 + 1/415 + 1/498	2/85 = 1/51 + 1/255
2/87 = 1/58 + 1/174	2/89 = 1/60 + 1/356 + 1/534 + 1/890	2/91 = 1/70 + 1/130
2/93 = 1/62 + 1/186	2/95 = 1/60 + 1/380 + 1/570	2/97 = 1/56 + 1/679 + 1/776
2/99 = 1/66 + 1/198	2/101 = 1/101 + 1/202 + 1/303 + 1/606