Mathématiques 45: Géométrie
Le papyrus d'Ahmès

Le papyrus de Rhind

1. Le papyrus d'Ahmès

Le papyrus d'Ahmes ou de le papyrus de Rhind est un document de qualité de par sa taille, le soin apporté à la composition et le peu d'erreurs relevées dans le texte. C'est probablement un manuel de référence de haut niveau utilisé pour enseigner dans une école de scribes.

Le papyrus de Rhind est très différent du papyrus de Moscou qui est la seconde source en importance pour les mathématiques égyptiennes du Moyen-Empire.

Le papyrus de Moscou est plus ancien que celui de Rhind. Avec sa qualité inférieure, il ressemble plutôt à une copie d'étudiant.

Écrit en hiératique, le papyrus Rhind comporte une introduction, une table de décomposition de fractions de type 2/n, et une liste de 86 problèmes d'arithmétique, de géométrie, ou d'arpentage.avec leurs solutions. Ceux-ci nécessitaient pour leur résolution, de savoir décomposer une fraction de la forme 2/n en somme de fractions unitaires (de numérateur 1). Ainsi, une table dite "de deux", se trouve en première position sur le Papyrus.

2. Les problèmes dans le papyrus d'Ahmès

Ces problèmes permettent de comprendre les techniques de multiplication et de division chez les Égyptiens.

Les problèmes 24 à 34 permettent la résolution d'équations par la méthode de fausse position.

Les problèmes 41 à 60 sont des problèmes d'arpentage, de mesure des distances et les problèmes géométriques qui lui sont liés qui sont les aires planes (du trapèze en particulier), les volumes de greniers à grains, et le calcul de pyramides.

Les problèmes 56, 57, 58, 59 et 60, sont consacrées à des calculs relatifs à la pente d'une pyramide, mesurée par leur seked. Le seked correspond à la demi base de la pyramide divisée par sa hauteur.

Le seked est mesurée par le déplacement horizontal nécessaire pour rejoindre la face après une élévation verticale d'une coudée. Il s'exprime avec les unités de longueur en usage: coudée, paume, et doigt.

La paume vaut le septième d'une coudée, et le doigt vaut le quart d'une paume.

Pour quatre de ces problèmes le seked est de 5 paumes et 1 doigt. Ainsi la pente est donc de (1/7) x (5 + 1/4) = 3/4.

Le disque de diamètre 9 a une aire voisine du carré de côté 8

Dans les problèmes 48 et 50, Ahmes étudie le rapport qui lie l'aire d'un disque à son diamètre en cherchant à ramener l'aire du disque à celle d'un carré équivalent.

Il s'agit en fait du problème de la quadrature du cercle. On construit un carré de même aire qu'un disque donné de diamètre D. Le carré de côté sensiblement égal à (8/9) x D était le carré cherché. Pour un disque de diamètre 9 unités, il lui correspond un carré de 8 unités.

Cette approximation, de nos jours, se calcule en ecrivant πD²/4 = C². D est le diamètre du disque et C le côté du carré. D'où C = √π /2 x D . On peut vérifier que 8/9 ≈ √π /2. Cette approximation permit donc aux égyptiens de se passer de la constante &p; qui valait pour eux donc 4 x (8/9)² = 3.16 environ. Les savants babyloniens prenaient 3 pour la constante π.

Ainsi, pour les savants égyptiens, le disque était déterminé par la mesure de sa largeur c’est-à-dire son diamètre. Son aire était égale à celle du carré ayant pour côté le diamètre diminué de son neuvième. L’algorithme d'Ahmès se traduit par la formule A = (D - D/9) x (D - D/9).

3. problème 79 du papyrus Rhind

Le problème 79 du papyrus Rhind montre que les égyptiens anciens n'utilsaient pas que de la géométrie, aussi de l'arithmétique et de l'algèbre. Voici ce problème:

Il y a sept maisons
Dans chaque maison il y a sept chats
Chaque chat mange sept souris
Chaque souris mange sept épis de blé
Chaque épi contient sept héqats de grain.
Combien de choses en tout

4. Unités anciennes

Comme encore de nos jours, plusieurs unités sont restées relatives au corps humain :

Egyptiennes:

• 1 paume = le septième d'une coudée
• 1 doigt = le quart d'une paume
• 1 khar = (2/3) coudée

Autres:

• la paume = 34 lignes = 7,64 cm
• la palme = 55 lignes = 12,36 cm
• l'empan = 89 lignes = 20 cm
• le pied = 144 lignes = 32,36 cm
• la coudée = 233 lignes = 52,36 cm
Avec une unité de base :
• la ligne = 2,247 mm

On aussi les relations:

empan = palme + paume
pied = empan + paume
coudée = empan + pied

1 palme = 1 paume x φ
1 pied = 1 empan x φ
1 coudée = 1 pied x φ
φ est le nombre d'or = (1 + √5)/2 = 1,61803398 ...