Mathématiques 45: Géométrie
Le papyrus d'Ahmès
Les problèmes dans le papyrus de Rhind
Problemes 1 à 6 : Division de miches de pain.
problème 1
Diviser un pain pour 10 hommes.
Chaque homme reçoit 1/10.
problème 2
Divisez 2 pains pour 10 hommes.
Chaque homme reçoit 2/10.
problème 3
Divisez 6 pains pour10 hommes.
Chaque homme reçoit 1/2 + 1/10.
1: 1/2 1/10
* 2: 1 1/5
4: 2 1/3 1/15
* 8: 4 2/3 1/10 1/30
4 + 1 + 1 /5 + 2/3 + 1/10 + 1/30 = 6
problème 4
Diviser 7 pains pour 10 hommes.
Chaque homme reçoit 2/3 + 1/30
Faites-le donc : 1 2/3 1/30
/2 1 1/3 à 1/15
4 2 2/3 1/10 1/30
/8 5 1/2 1/10
Total de 7 pains, ce qui est correct.
Remarque:
L'expression "2/3 1/30" est en fait la somme des termes 2/3 et 1/3.
Dans les notations modernes: 2/3 + 1/30 = 21/30 = 7/10, ce qui est
bien sûr le résultat correct.
Il n'y a pas d'explication comment Ahmes l'a obtenu. Mais on sait
que les scribes étaient habile à manipuler les fractions
unitaires.
Cette expression , qui représente une partie de la quantité
recherchée est alors doublée, et le résultat est doublé à nouveau
pour obtenir la représentation de quatre unités, puis celle de 8
unités.
Depuis 10 = 2 + 8, les deux lignes correspondant à 2 et 8 unités
sont marqués avec "/" et ensuite ajoutées:
10 = 8 + 2
= 1 + 1/3 + 1/15 + 5 + 1/2 + 1/10
= 6 + 10/30 + 2/30 + 15/30 + 3/30
= 6 + ( 10 + 2 + 15 + 3 ) / 30
= 6 + 1
= 7.
problème 5
Diviser 8 pains pour 10 hommes.
Chaque homme reçoit 2/3 + 1/10 + 1/30.
problème 6
Diviser 9 pains pour 10 hommes.
Chaque homme reçoit 2/3 + 1 /5 + 1/30
problème 21
Il s'agit de compléter la série de 1/5 + 1/15 + x = 1
15 * (2/3 + 1/15) = 10 + 1 = 11
15 -11 = 4
15 * (1/5 + 1/15) = 3 + 1 = 4
15 * (1/3 + 15 ) + (1/5 + 1/15) = 11 + 4 = 15
(2/3 + 1/15) + (1/5 + 1/15) = 1 (preuve )
Ahmès calculs utilisait la couleur rouge , mais parfois cette couleur a été omise.
Trouver fraction: (2/3 + 1/5) = ( 10 + 1 ) / 15 = 11/15
Trouver fraction manquante : 15/15 - 11/15 = 4/15 = ( 3 + 1 ) / 15 = 1/5 + 1/15
La preuve d'Ahmès: (2/3 + 1/5) + (1/5 + 1/15 ) = 1
problème 22
Il s'agit de compléter la série 2/3 + 1/30 + x = 1
30 * (2/3 + 1/30) = 20 + 1 = 21
30 - 21 = 9
30 * (1/5 + 1/10) = 6 + 3 = 9
30 * (2/3 + 1/30) + (1/5 + 1/10) = 21 + 30 = 9
(2/3 + 1/30) + (1/5 + 1/10) = 1 (preuve )
Calcul Ahmès n'utilisait plus le rouge .
Trouver la fraction: (2/3 + 1/20 ) = (20 + 1)/30 = 21/30
Trouver la fraction manquante: 30/30 - 21/30 = 9/30 = (6 + 3 ) / 30 = 1 /5 + 1/10
Preuve d'Ahmès: (2/3 + 1/5) + (1/5 + 1/15 ) = 1.
problème 23
Il s'agit de compléter la série 1/4 + 1/8 + 1/10 + 1/30 + 1/45 + x = 2/3
Calcul d'Ahmès:
Trouver la fraction : 1/4 + 1/8 + 1/10 + 1/30 + 1/45 + x = 2/3 (à multiplier par 45)
45/4 + 45/8 + 45/10 + 45/30 + 45/45 + 45 x = 45 * (2/3 )
11 + 1/4 + 5 + 1/2 + 1/8 + 1 + 1/2 + 45x = 30
45x = 30 - (23 1/2 + 1/4 + 1/8) = 6 + 1/8
45 x = 49 /8,
x = 49/360 = ( 40 + 9 ) = 1/9 + 1/40
Ahmès omis les deux dernières étapes en écrivant uniquement la réponse 1/9 + 1/40.
Problemes 24 a 29 : Aha problèmes.
Aha veut dire quantité inconnue que l'on cherche
quand elle impliquée dans une somme.
problème 24
Ici, on utilise la méthode dite de de la fausse position :
1 On suppose une réponse (probablement fausse) ;
2 On ajuste à l'aide des proportions.
Dans le papyrus d'Ahmes, il ya plusieurs exemples de cette nature, mais il
n' ya aucune indication sur l'origine ou le fonctionnement de cet algorithme.
On note bien ici que cette méthode utilisée démontre une certaine connaissance
des proportions.
problème 24
Une quantité et son septième additionnés
deviennent 19 . Quelle est la quantité ?
x + ( 1/7) x = 19
(8/ 7), x = 19
x = 133 /8 = 16 + 5/8 = 16 + ( 4 + 1) / 8 = 16 + 1/2 + 1/8
problème 25
Une quantité et sa 1/2 additionnés deviennent 16 .
Quelle est la quantité ?
x + ( 1/2) x = 16;
(3/2) x = 16 ,
x = 32 /3 = 10 + 2/3
problème 26
Trouver une quantité qui lorsqu'elle est ajoutée a un quart
d'elle-même donne 15.
Algorithme (Methode de la fausse position) :
Supposons que la reponse est 4.
Alors, 1 1/4 de 4 est 5.
On multiplie 5 pour obtenir 15.
La reponse est 3.
On multiplie 3 par 4.
La reponse est 12.
problème 27
Une quantité et sa cinquième additionnés
deviennent 21 . Quelle est la quantité ?
x + ( 1/5) x = 21
(6/5) x = 21
x = 105/6 = 17 + 1/2
problème 28
Une quantité avec ses deux-tiers donnent un montant, qui diminués
de son tiers donne 10 . Quelle est cette quantité ?
x + (2/3)x - (x + (2/3)x)/3 = 10 . Que vaut x ?
x = 9
problème 29
Penser à un nombre. Ajouter à lui ses deux tiers. Pour ce premier
résultat, lui ajouter son tiers. Le tiers du résultat vaut 10.
Quelle est la quantité ?
1/3 [(x + 2/3 x) + 1/3 (x + 2/3 x)] = 10
x = 13 + 1/2
problème 30
Deux-tiers d'une quantité ajoutés au dixième de cette quantité devient 10.
Quelle est la quantité ?
2/3 x + 1/10 x = 10
20/30 x + 3/30 x = 10
20/30 x = 10
2/3 x = 10
x = 15
problème 32
Une quantité augmentée de son tiers, et de son quart
devient deux . Quelle est cette quantité ?
x + 1/3 x + 1/4 x = 2
x = 2/(1 + 1/3 + 1/4) = 2/(19/12)= 24/19.
Qu'on peut ecrire:
1 + 5/19 = 1 + 1/4 + 1/76
problème 33
La somme d'une quantité avec ses deux tiers, sa moitié, et son septième
est 37. Quelle est cette quantité ?
= 37 . Qu'est-ce que x ?
x(1 + (2/3) + (1/2) + (1/7)) = 37
x = 37 x 42/97 = 1554/97
x = 16 + 2/97
La table d'Ahmès donne: 2/79 = 1/60 + 1/237 + 1/316 + 1/790
Donc:
x = 16 +1/60 + 1/237 + 1/316 + 1/790
Le hekat ou heqat est une ancienne unité égyptienne
de mesure de volume utilisée pour mesurer les quantités
de grain ou de bière. Il vaut 4.8 liters avec nes mesures
actuelles.
1 hekat = 320 ro
1 hekat = 64 dja
1 hekat (d'orge) = 3.75 kg,
problème 35
Trouver 3/10 d'un hekat en unités ro.
3/10 x 1 hekat = 320 ro x 3/10 = 96 ro
problème 36
3x + (1/3) x + (1/5) x = 1 hekat
(45 x + 5x + 3x)/15 = 1
(53/15) x = 1
53 x = 15
x = 15/53 hekat
problème 37
Trouver 1/90 d'un hekat en unités ro de :
320 ro x (1/90) = 64/18 ro = 3 + 1/2 + 1/18 ro.
problème 38
Multiplier un hekat par 7/22 , écrit en unités ro.
(7/22) x 1 hekat = (7/22) x 320 ro = 101 9/11 ro .
La preuve d'Ahmès inverse 7/22 en 22/7, tels que :
(101 11/9) multiplié par 22/7 = 320/320 = 1 hekat
problème 39
100 pains pour 10 hommes, 50 pour 6, et 50 pour 4.
Quelle est la différence ?
1 pain pour 4 hommes
10 pains 40
2 pains 8
1/2 pain 2
Somme : 12 1/2
1 pain pour 6 hommes
2 pains pour 12 hommes
4 pains pour 24 hommes
8 pains pour 48 hommes
1/3 de pains pour 2 hommes
Somme : 8 1/3
Pour 4 hommes obtient 12 1/2 pains, 6 hommes
8 1/3 de pains , le différent est 4 1/6 .
problème 40
Diviser 100 hekats d'orge entre 5 hommes de telle sorte que
la différence commune est la même, et de telle sorte que la somme
des deux plus petites est 1/7 de la somme des trois plus grandes.
Ce problème utilise à la fois une série arithmétique et une
équation simultanée.
Soient d la différence commune et s le nombre de départ.
20 = 100/5 = s + d(5 - 1)/2 = s + 2d.
Les deux plus petites sont: s et s + d.
Leur somme est 2s + d.
La plus grande est s + d. La somme des trois plus grandes
est 3s + 3d.
La somme des deux plus petits est le 1/7 de la somme des
trois plus grandes:
2s + d = (1/7)(3(s + d))= (1/7)(3s + 3d)
Donc 3s + 9d = 7 x (2s + d) = 14s + 7d .
D'où: 2d = 11s
Avec 20 = s + 2d, on a:
20 = 12 s et s = 20/12 = 1 + 8/12 = 1 + 2/3 = 1 + 1/2 + 1/6
Alors s = 1 + 1/2 + 1/6
2d = 11s = 18 + 1/3
Donc, d = 9 + 1/6 .
Les 5 hommes obtiennent respectivement:
1 + 1/2 + 1/6 , 10 + 1/2 + 1/3 , 20,
29 + 1/6 , 38 + 1/3 . Le total est de 100.
Problemes 41 à 46 : Volumes
R41 à R43 : Volume d'un cylindre : même aire du disque que dans
R50.
R44 : Volume d'une boîte rectangulaire
R45 - R46 : Volume d'un parallelepipede.
• 1 paume = le septième d'une coudée
• 1 doigt = le quart d'une paume
• 1 khar = (2/3) coudée
• 1 setat = 1 square khet = 10,000 square cubits
• 1 petite coudée = 6 paumes = 24 doigts = 45.4 cm
• 1 coudée royale ou grande coudée = 7 paumes =
28 doigts = 52,9 cm
problème 41
Calcule le volume d'un grenier cylindrique de diamètre 9 et 10 de hauteur .
RMP 41 résolu , D = 9 , la hauteur ( H ) 10 en utilisant la même formule MMP 10
A = (8/9)(9) (8/9) (9) = (8) (8 ) = 6422 coudées
(9 - 9/9) = (8 x 8 = 64 coudées2
Volume (V) = (64) (10) = 640 coudées3
problème 42
Trouver le volume d'un grenier cylindrique de diamètre
10 et hauteur 10 .
D = 10
A = (10 - 10/9 ) = (80/9) (80/ 9) = 6400/81 = 79 + 1/81 coudées carrées
H = 10
V = (6400/81) (10 ) = 64000/81 = 790 + 10/81 = 790 + 20/162 =
790 + (18 + 2)/162 = 790 + 1/18 + 1/81 coudées cubes
Converti en unités de Khar :
V = (790 + 10/81) + (1/2)(790 + 10/81)] = 1185 + 15/81 khar
problème 44
Calcule le volume d'un grenier rectangulaire de longueur 10 ,
largeur 10 et hauteur 10 .
V = 10 x 10 x 10 = 1000
Problemes 48 à 55 : Aires
R49 : Aire d'un rectangle
R51 : Aire d'un triangle isocèle
R52 : Aire d'un trapeze isocèle
problème 50
Un champ circulaire a un diamètre de 9 khet .
Quelle est son aire?
La solution écrite dit: il faut soustraire 1/9 de du diamètre
qui laisse 8 khet. L'aire est de 8 multipliée par 8 ou 64 setat .
(1 setat = 1 square khet)
On remarque que cela donne une valeur approximée de π de
4 x (8/9)2 = 256/81 = 3,160.
problème 52
Trouver l'aire d'un trapèze avec (qui apparemment dont) les côtés
sont inclinés de manière égale. Les longueurs des côtés parallèles
et la distance entre eux étant des nombres donnés.
L'aire d'un trapèze isocèle dont la grande base est 6, la petite base
est 4 et la distance entre eux est de 20, est égal à un rectangle de
même hauteur, mais dont la base est la moitié de la somme des bases
de trapèze.
(6 + 4 ) x 1/2 x 20 = 100 setat
problème 64
Diviser 10 hekats d'orge parmi les 10 hommes de sorte que
la différence commune est de 1/8 de hekat d'orge.
Leur solution est la suivante:
Prendre la moyenne de la valeur: 10/10 = 1.
Le nombre total de différences est alors 10 - 1 = 9.
Trouver la moitié de la différence courante : (1/2) (1/8) = 1/16.
Multiplier par 9 par 1/16: 1/2 + 1/16 .
Ajoutez à cela la valeur moyenne pour obtenir la plus grande part 1 + 1/2 + 1/16.
Soustraire la différence commune, 1/8, neuf fois : 9 x (1/8) = 1 + 1/8
pour obtenir la part la plus faible:
(1 + 1/2 + 1/16) - (1 + 1/8) = 1/2 - 1/8 + 1/16 = 1/4 + 1/8 + 1/16.
Ainsi, les pats sont:
1/4 + 1/8 + 1/16
1/2 + 1/16
1/2 + 1/8 + 1/16
1/2 + 1/4 + 1/16
1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16
1/2 + 1/2 + 1/16
1/2 + 1/2 + 1/8 + 1/16
1 + 1/4 + 1/16
1 + 1/4 + 1/8 + 1/16
1 + 1/2 + 1/16 .
Le total est de 10 hekats d'orge .
PESU Problèmes
Le Pesu ou Pefsu est la mesure de la force ou de la faiblesse de la bière
ou du pain en terme de grains utilisés pour les fabriquer.
PESU = (nombres de pots de bière ou de miches de pain)/(nombre
de hekat de grain)
problème 72
100 miches de pains de pesu 10 doivent être échangés pour
un certain nombre de pains de pesu 45. Quel est ce nombre ?
Le nombre de PESU d'un pain détermine sa force dans l'ordre inverse,
en particulier, un pesu de 10 est plus fort que le pesu de 45.
Avec nos Maths modernes, en utilisant les proportions ou le produit
croisé; on trouve: (45/10) x 100 = 450.
Voici la solution égyptienne :
D'abord trouver l'excédent de 45 sur 10: Vous obtenez 35.
Diviser 35 par 10: Vous obtenez 3 + 1/2 .
Maintenant, multipliez 3 + 1/2 par 100: Vous obtenez 350 .
Ajoute 100 à 350 , vous obtenez 450.
problème 79
Il ya sept maisons , dans chaque maison il ya sept chats,
chaque chat tue sept souris, chaque souris a mangé sept grains
d'orge, chaque grain aurait produit sept hekat. Quelle est la somme
de toutes les choses énumérées.
Voici le tableau d'Ahmes:
| maisons | 7 | | |
| chats | 49 | | |
| souris | 343 | 1 | 2801 |
| grains d'orge | 2401 | 2 | 5602 |
| hekats d'orge | 16807 | 4 | 11204 |
| total | 19607 | total | 19607 |
Les résultats constituent cinq termes de la suite géométrique de raison 7.
Le 1 dans la (3me ligne; 3me colonne) traduit que Ahmès
repète le processus pour l'unité. Ensuite pour deux et ensuite
pour 4. La somme de ces tois nombres est 1 + 2 + 4 = 7. Cela
correspond au nouveau et même total de 19607 .
Dans nos Maths modernes, la somme des n
premiers termes d'une série géométrique de raison r:
1, r, r2, r3, ... rn, est
Sn = (rn+1 - 1)/(r - 1).
Ainsi pour n = 4 et r = 7, on a: S4 = (75 - 1)/(7 - 1) =
(16807 - 1)/(6) = 2801. Ce qui correspond au nombre mis par
Ahmès dans la (3me ligne ; 4me colonne).
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