Mathématiques
45
Calcul littéral
Je pratique
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Mathématiques 45: Algèbre:
Trinôme Factorisation
La forme générale d'un trinôme du second
degré est:
a x2 + b x + c
a, b, et c sont des coéfficients constants.
Exemple:
2 x2 - 3 x + 7.
1. Binôme du second degré
Un binôme du second degré est de la forme:
a x2 + b x
C'est un trinôme du second degré avec c = 0.
Sa forme factorisée est :
x (a x + b)
Exemple:
2 x2 - 3 x = x (2 x - 3)
2. Trinôme carré parfait
Un polynôme est un trinôme carré parfait
si sa forme factorisée est de la forme:
a(x + b)2
Exemple:
8 x2 + 24 x + 18 = 2 (2 x + 3)2
Comment reconnaitre un trinôme carré parfait?
- On part de la forme générale a x2 + b x + c,
- On calcule le carré de b, soit b2,
- On calcule le produit 4 a c ,
- On fait le test suivant:
Si b2 = 4 a c, alors le trinôme est carré parfait,
On ecrit
a x2 + b x + c = a(x + b/2a)2
Si b2 ≠ 4 a c, alors le trinôme n'est pas un carré parfait.
Exemple 1:
P = 3 x2 - 12 x + 12.
b2 = (- 12)2 = 144,
4 a c = 4 (3) (12) = 144,
b2 = 4 a c, donc le trinôme est carré parfait,
Ainsi :
P = 3 x2 - 12 x + 12 = 3[x + (-12)/2(3)]2 =
3[x - 12/6]2 = 3(x - 2)2
Exemple 2:
P = x2 + 2 x + 3
b2 = (2)2 = 4,
4 a c = 4 (1) (3) = 12,
b2 ≠ 4 a c, donc le trinôme n'est
pas carré parfait.
3. Différence de carré
Si on développe la forme factorisée d'une expression
algébrique (a + b)(a - b), on trouve:
(a + b)(a - b) = a2 - b2.
Généralemet, avec n'importe quelles expressions
♣ et ♥,
on a toujours l'identité suivante:
♣2 - ♥2 = (♣ + ♥)(♣ - ♥)
Exemples:
52 - 32 = (5 + 3 )(5 - 3)
(ab)2 - 12 = (ab + 1 )(ab - 1)
(x√y)2 - (-2)2 = (x√y - 2)(x√y +2)
On remarque qu'on extrait la racine carré
de chaque terme.
Pour un binome su second degré, on a:
ax2 - b = a[x2 - b/a] =
a[x2 - (√(b/a))2] =
a[x - √(b/a)][x + √(b/a)]
ax2 - b = a[x - √(b/a)][x + √(b/a)]
Exemples:
x2 - 4 =
x2 - 22 = (x + 2 )(x - 2)
La forme factorisée de x2 - 4 est (x + 2 )(x - 2)
3x2 - 15 =
3[x - √(15/3)][x + √(15/3)] =
3(x - √5)(x + √5)
La forme factorisée de 3x2 - 15 est 3(x - √5)(x + √5)
3. Complétion du carré
Dans le cas où un trinôme ne peut pas se
factoriser sous la forme d'un trinôme carré parfait,
ou différence de carrés, on utilise la méthode de
complétion du carré.
la méthode de complétion du carré utilse
celle du trinôme carrée parfait suivie de la différence
de carré.
Partons de la forme générale: ax2 + bx + c.
1. Mettons a en facteur: a[x2 + (b/a)x + (c/a)]
On considère maintenant le trinôme:
P = x2 + (b/a)x + (c/a)
2. Cherchons le trinôme carrée parfait:
Pour avoir un carré, on transforme les deux premiers
termes :
x2 + (b/a)x = x2 + 2(b/2a)x +
(b/2a)2 - (b/2a)2 + (c/a)
P = (x + (b/2a))2 - (b/2a)2 + (c/a)
3. Faisons apparaitre une différence de deux carrés:
p = (x + (b/2a))2 - [(b/2a)2 - (c/a)] =
(x + (b/2a))2 - (√([(b/2a)2 - (c/a)))2] =
(x + (b/2a) - √((b/2a)2 - (c/a)))(x + (b/2a) + √((b/2a)2 - (c/a)))
Ainsi
La forme factorisée de ax2 + bx + c est
a (x + (b/2a) - √((b/2a)2 - (c/a)))(x + (b/2a) + √((b/2a)2 - (c/a)))
Exemple :
P = 2x2 + 2 x - 4 .
P = 2(x2 + x - 2) .
x2 + x = x2 + 2 (1/2) x + (1/2)2 - (1/2)2 =
[x + (1/2)]2 - (1/2)2
Donc:
x2 + x - 2 = [x + (1/2)]2 - (1/2)2 - 2 =
[x + (1/2)]2 - 9/4 =
[x + (1/2)]2 - [3/2]2 =
[x + (1/2) - 3/2][x + (1/2) + 3/2] =
[x - 1][x + 2]
Ainsi
P = 2[x - 1][x + 2]
La forme factorisée de 2x2 + 2 x - 4 est
2(x - 1)(x + 2)
4. Trinôme sous form a(x - h)2 + k
On veut ecrire le trinôme de forme générale
ax2 + bx + c sous la forme suivante:
a(x - h)2 + k.
On a déjà établit la forme factorisée suivante:
ax2 + bx + c = a (x + (b/2a) - √((b/2a)2 - (c/a)))(x + (b/2a) + √((b/2a)2 - (c/a)))
En utilsant l'identité:
(♠ + ♦)(♠ - ♦) =
♠2 - ♦2, ou en développant,
on obtient:
a (x + (b/2a) - √((b/2a)2 - (c/a)))(x + (b/2a) + √((b/2a)2 - (c/a))) =
a [(x + (b/2a))2 - √((b/2a)2 - (c/a))2] =
a [(x + (b/2a))2 - (√((b/2a)2 - (c/a)))2] =
a [(x + (b/2a))2 - ((b/2a)2 - (c/a))] =
a(x + (b/2a))2 - ((b2/4a) - c) =
a(x - (- b/2a))2 + ((- b2/4a) + c).
On ecrit:
h = - b/2a et k = - b2/4a + c.
Ce qui permet d'ecrire
ax2 + bx + c = a(x - h)2 + k
ax2 + bx + c = a(x - h)2 + k
avec h = - b/2a et k = - b2/4a + c.
Exemple :
3x2 + 12x + 2
h = - b/2a = - 12/(2x3) = - 2 et
k = - 122/(4x3) + 2 = - 12 + 2 = - 10.
Donc:
3x2 + 12x + 2 = 3(x + 2)2 - 10
.
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