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Maths
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Mathématiques 2: Fonction réciproque



1. Définition

Une fonction f associe à chaque variable indépendante x une variable dépendante y.

On a:
f: x y = f(x)

La fonction réciproque fr fait l'inverse. Elle associe à chaque valeur y une valeur x. Le codomaine de f devient le domaine de fr.

On a:
x = fr(y) y : fr

r signifie:réciproque. On usitilise aussi la notation f-1 pour la fonction réciproque.
Bien entendu r et -1 ne sont pas des exposants.


2. Examples

2.1. Example 1

La fontion f associe à chaque x la valeur y:

y = 2 x - 1

On résoud l'équation et l'on obtient:

2x = y + 2

Donc x = (y + 1)/2

La fonction qui à y on associe x est la fonction réciproque ou la fonction inverse fr de la fonction f .


2.2. Example 2

Voici les graphes de la fonction f et celui de sa fonction réciproque fr.

La droite de la fonction de symetrie y = x a été aussi représentée.



2.3 Example 3

Toutes les fonctions n'ont pas nécessairement des fonctions réciproques. Par exemple:

La fonction carré transforme x en son carré:

y = f(x) = x2

f : x y = f(x) = x2

Par exemple f(+ 2) = (+2)2 = 4 . Mais nous avons aussi f(- 2) = (- 2)2 = 4

La réciproque de la fonction carré est racine carrée:

x y = x2

Mais pour une valeur de y, comme 4, nous avons deux valeurs de x comme + 2 et - 2.

Donc cette réciproque n'est pas une fonction.

Pour que cette réciproque soit une fonction, on omet l'ensemble des valeurs négatives. Ainsi la réciproque devient bien une fonction. Le codomaine de cette fonction réciproque n'est pas R, mais juste R+:

La racine carrée (√) est une fonction dont le domaine est R+ et le codomaine est R+.



On supprime la partie (2) pour que la réciproque devienne une fonction. Ainsi on obtient la fonction racine carrée de base f(x) = √x.



3. Exercices

3.1. Exercice 1

Quelle est la fonction réciproque de la fonction f telle que:

f(x) = y = (x + 1)/x

Réponse:

x = 1/(y - 1)



3.2. Exercice 2

a) Quelle est la fonction réciproque de la fonction f telle que:

f(x) = y = x + 3
dom f = [0, 6[

b) Représenter sur un plan cartésien la courbe de la fonction f.

c) Représenter sur le même plan la courbe de la fonction réciproque fr

d) Pour vérifier la symétrie de la fonction f par rapport à sa fonction réciproque fr, représenter sur le même plan la courbe de la fonction y = x.

Réponse:








  


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