Mathématiques 2: Inéquations

1. √(x² + 3) ≥ x² + 1

Il n' y a aucune contrainte puisque les binômes
(x² + 3) et (x² + 1) sont toujours positifs.

Ainsi

x² + 3 ≥ (x² + 1)²

x² + 3 ≥ x⁴ + 2 x² + 1

Donc

x⁴ + x² - 2 ≤ 0 (1)

On pose y = x²

L'equation (1) devient:

y² + y - 2 ≤ 0 (2)

Δ = (1)² - 4 (1)(- 2) = 9

y1 = (-1 + 3)/2 = 1
y2 = (-1 - 3)/2 = - 2


Le trinome (2) est du signe de a = 1 , donc positif
à l'extérieur des rcines, c'est à dire dans ]- ∞, - 2[ ∪ ]+ 1, + ∞[ . Il est donc négatif dans [- 2, + 1].

Seul y1 = + 1 convient.

Donc

x2 = + 1
x2 = - 1

Solutions qui sont bien dans dans [- 2, + 1]

Ensemble des solutions S = [- 2, + 1]

2. √(2x - 5) < √(x² - 8)

Les contraintes:

2x - 5 ≥ 0 → x ≥ + 5/2
x² - 8 ≥ 0 → x∊ ]- ∞ , - 2√2] ∪ [+ 2√2, + ∞[.

Ainsi

2x - 5 < x² - 8
0 < x² - 2x - 3

x² - 2x - 3

Les racines sont:
x1 = - 1
x2 = + 3

Le trinome est du signe de a = 1 , donc positif
à l'extérieur des rcines, c'est à dire dans ]- ∞, - 1[ ∪ ]+ 3, + ∞[.

Avec les contraintes:
x ≥ + 5/2, et
x∊ ]- ∞ , - 2√2] ∪ [+ 2√2, + ∞[.

5/2 = 2.5
2√2 = 2.8

on aura:

S = ]- ∞ , - 2√2] ∪ ]+ 3, + ∞[.

3. √x + 1 ≥ √(16x) - 2

Une seule contrainte:
x ≥ 0

√x + 1 ≥ √(16x) - 2
√x + 1 ≥ 4 √x - 2
0 ≥ 3 √x - 3
√x ≤ 1
x ≤ 1

Avec la contrainte x ≥ 0 , on a

S = [0, + 1[ .

4. f(x) = 3√(2x - 6) + 1

Domaine de f(x) = [+ 3, + ∞[

la contrainte est
2x - 6 ≥ 0 → x ≥ 3

Nous avons:

y = 3√(2x - 6) + 1
y - 1 = 3√(2x - 6)
(y - 1)/3 = √(2x - 6)
(y - 1)²/9 = 2x - 6
y² - 2 y + 1 = 18 x - 54
y² - 2 y - (18 x - 55) = 0

Δ = (-2)² + 4 (1)(18 x - 55) =
4 + 4 (1)(18 x - 55) = 4(1 + 18 x - 55) =
4(18 x - 54) = 2 x 36 (x - 3)

Pour avoir des racines, il faut que :
4(18 x - 54) ≥ 0 → x ≥ 54/18 = 3

Donc

Pour x ≥ 3 , nous avons

y1 = (2 + √Δ)/2
y2 = (2 - √Δ)/2
y1 = (2 + 6 √(2(x - 3)))/2 = 1 + 3 √(2(x - 3))
y2 = (2 - 6 √(2(x - 3)))/2 = 1 - 3 √(2(x - 3))

Ainsi, avec la contrainte: x ≥ 3:

y1 = 1 + 3 √(2(x - 3))
y2 = 1 - 3 √(2(x - 3))
dans [+3, + ∞[

Explicitement, on ecrit:

y = |3 √(2(x - 3))| + 1
dans [+3, + ∞[

Ainsi la fonction réciproque de f(x) est g(x) telle que: g(x) = |3 √(2(x - 3))| + 1 dans [+3, + ∞[