Mathématiques 2: Fonctions exponetielles

1. Dépôt & intérêts composés

1.1 exercice 1

On place un montant Do = 5000 $ à un taux annuel de 10%.

Année 0: Do = 5000 $
Année 1: D1 = Do + 10%Do = Do(1 + 10%)
Année 2: D2 = Do1 + 10%D1 = D1(1 + 10%) = Do(1 + 10%)²
Année 3: D3 = Do(1 + 10%)³
...
Année n: Dn = Do(1 + 10%)ⁿ = 5000 (1 + 10%)ⁿ $

Dn > 1000 000 $ équivaut à
5000 (1 + 10%)ⁿ > 1000 000
5000 (1.1)ⁿ > 1000 000

On prend le ln:

ln (5000) + n ln(1.1) > ln(1000 000)

n ln(1.1) > ln(1000 000) - ln (5000) =
ln(1000 000/5000)= ln(200)

n > ln(200)/ln(1.1) = 5.298/0.0953 = 55.587 années.

au bout de 55.587 années, le dépôt initial de 5000 $ deviendra 1 million de dollars.

1.2 exercice 2

On place un montant Do = 1000 $ à un taux annuel de 7.5%.

Année n: Dn = Do(1 + 7.5%.)ⁿ = 1000 (1 + 7.5%.)ⁿ $

Do est triplé si Dn = 3 x Do = 3000 $
1000 (1 + 7.5%)ⁿ = 3 x 1000
(1 + 7.5%)ⁿ = 3

On prend le ln:

ln(1 + 7.5%) = ln(3)

ln(1.075) = ln(3)

n = ln(3)/ln(1.075) = 1.099/0.072 = 15.26 années.

Le montant du dépôt n'est pas une donnée pertinente.

À un taux de 7.5% l'an , n'importe quel montant investi aura triplé en 15.26 années.

1.3 exercice 3

On place un montant Do = 500 $ à un taux annuel de 9%.

Composé chaque trois mois → taux trimestriel = (9/4)%

On compose donc chaque trimestre:

Trimèstre 0: Do = 500 $
Trimèstre 1: D1 = Do(1 + (9/4)%)
Trimèstre 2: D2 = Do (1 + (9/4)%)²
...
Trimèstre n: Dn = Do (1 + (9/4)%)ⁿ =
500 (1.0225)ⁿ $

Dn > 8 000 $ équivaut à
500 (1.0225)ⁿ > 8 000

On prend le ln:

ln (500) + n ln(1.0225) > ln(8000)

n ln(1.0225) > ln(8 000) - ln (500) =
ln(8000/500) = ln(16) = 4 ln(2) = 2.77

n > 2.77/ln(1.0225) = 2.77/0.022 = 124.40 trimèstres = 124.40 trimèstres /4 = 31.123 années.

Au bout de 31.123 années, le dépôt initial de 500 $ deviendra 8000 dollars, à un taux annuel de 9%.

1.4 exercice 4

On place un montant Do = 2 000 $ à un taux annuel de 11%.

Composé chaque mois → taux mensuel = (11/12)%

l n'y a pas d'intérêts le premier mois. On doit remettre 325 $ au terme du palcement.

Mois 0: Do = 2 000 $
Mois 1: D1 = Do
Mois 2: D2 = D1 (1 + (11/12)%)
= Do (1 + (11/12)%)
Mois 3: D3 = D2 (1 + (11/12)%) = Do (1 + (11/12)%)²
...
Mois n: Dn = Do (1 + (11/12)%)^{n - 1}

n = 5.5 ans = 5.5 x 12 mois = 66 mois

D66 = Do (1 + (11/12)%)^{66 - 1} =
2 000 (1 + (11/12)%)⁶⁵ = 1.81 x 2 000 $
= 3619.248 dollars

On n'oblie pas les 325 $ qu'on doit remettre 325 au terme du palcement.

Donc

D66 = 3619.248 - 325 = 3294.248 $

1 année = 12 mois
n mois = n années/12

La formule du placement est:

Dx =200 (1 + (11/12)%)^{(x - 1)/12} - 325.00 $

1.5 exercice 5

A dix ans, Jim a hérité d'un montant de 1000$ qui avait été placé à un taux de 8%, intérêts capitalisés tous les 6 mois. On veut savoir l'âge de Jim lorsque le placement vaudra 2500$.

On place un montant Do = 1 000 $ à un taux annuel de 8%.

Composé chaque 6 mois → taux 6 mois = (8/2)% = 4%

6 mois 0: Do = 1 000 $
6 mois 1: D1 = Do + (4%)Do = Do (1 + 4%)
6 mois 2: D2 = D1 (1 + 4%)
= Do (1 + 4%)²
6 mois 3: D3 = D2 (1 + 4%) = Do (1 + 4%)³
...
6 mois n: Dn = Do (1 + 4)%)ⁿ

Dn = 2500 $

1000 (1 + 4%)ⁿ = 2500
(1 + 4%)ⁿ = 2.5

On passe au ln

n ln(1.04) = ln(2.5)
n = ln(2.5)/ln(1.04) = 0.917/0.04 = 23.38


Jim aura 23.38 ans lorsque le placement vaudra 2500 $

1.6 exercice 6

La valeur marchande d'une moto diminue de 25% pa année. Neuve, elle s'est vendue 4000 $. On veut savoir après combien d'années sa valeure deviendra 1500$.

Taux annuel de 25%.

Année 0: Do = 4 000 $
Année 1: D1 = Do - (25%)Do = Do (1 - 25%)
Année 2: D2 = D1 (1 - 25%)
= Do (1 - 25%)²
Année 3: D3 = D2 (1 - 25%) = Do (1 - 25%)³
...
Année n: Dn = Do (1 - 25)%)ⁿ

Dn = 1500 $

4000 (1 - 25%)ⁿ = 1500
(1 - 25%)ⁿ = 1500/4000 = 3/8

On passe au ln

n ln(0.75) = ln(3/8)
n = ln(3/8)/ln(0.75) = -0.98/-0.288 = 3.41


Au bout de 3.41 ans la moto achetée à 4000 $ ne vaudra que 1500$.

2. Prolifération des bactéries

2.1. exercice 1:

prolifération signifie multiplication rapide; plus fort que la croissance.
Une bactérie est un petit organisme qui n'est visible qu'au microscope.
Certaines bactéries sont pathogènes; c'est à dire à l'origine des maladies. Les infections bactériennes sont traitées par antibiotiques.


Une bactérie double à toutes les heures.

Heure 0: Bo = 15
Heure 1: B1 = 2 X Bo
Heure 2: B2 = 2 X B1 = 2²Bo
Heure 3: B3 = 2 X B2 = 2³Bo
...
Heure n: Bn = 2ⁿBo =
2ⁿ x 15 bactéries

Dn = 1920 bactéries

2ⁿ x 15 = 1920
2ⁿ = 1920 /15 = 128

On prend le ln:

n ln (2) = ln(128)

n = ln(128)/ln(2) = 4.852/0.69 = 7.032

Au bout de 7 heures, doublant toutes les heures, 15 bactéries prolifèrent pour en compter 1920.

2.2. exercice 2:

Maintenant une bactérie triple à toutes les 2 heures.

Heure 0: Bo = 2
Heure 2: B2 = 3 x Bo
Heure 4: B4 = 3 X B2 = 9 Bo = 3²Bo
Heure 6: B6 = 3 X B4 = 27 Bo = 3³Bo
Heure 8: B8 = 3 X B6 = 3^8/2Bo
...
Heure n: Bn = 3^n/2Bo
3^n/2 x 2 bactéries

Dn = 1458 bactéries

3^n/2 x 2 = 1458

3^n/2 x 2 = 1458 /2 = 779

On passe au ln:

(n/2) ln (3) = ln(779)

n/2 = ln(779)/ln(3) = 6.658/1.099 = 6.06

n = 2 x 6.06 = 12.12

Au bout de 12.12 heures, triplant à toutes les 2 heures, 2 bactéries prolifèrent pour en compter 1458.

2.3. exercice 3:

Maintenant une bactérie quintuple à toutes les 15 minutes.

quintuple veut dire cinq fois autant.

Minute 0: Bo = 1
Minutes 15: B15 = 5 X Bo
Minutes 30: B30 = 5 X B15 = 5²Bo = 5^30/15Bo
Minutes45: B45 = 5 X B30 = 5³Bo = = 5^45/15Bo
Minutes 60: B60 = 5 X B45 = 5⁴Bo = 5^60/15Bo
...
Minutes n: Bn = 5^n/15 Bo = 5^n/15 x 1 = 5^n/15 .

Dn = 1 000 000 bactéries

5^n/15 = 1 000 000

On passe au ln ou mieu log:

(n/15) log (5) = 6 log(10) = 6

n/15 = 6/log(5) = 8.584

n = 15 x 8.584 = 128.76 minutes =
128.76 minutes/60 = 2.15 heures

Au bout de 2.15 heures, quintuplant à toutes les 15 minutes, 1 bactérie prolifèrepour en compter um million.

2.4. exercice 4:

Maintenant dans une certaine culture, le nombre de bactérie double toutes les deux heures .

Il y a 15 bactéries au début de l'expérience. On veut savoir combien il y en aura 12 heures plus tard.

Heure 0: Bo = 15
Heure 2: B2 = 2 x Bo
Heure 4: B4 = 2 B2 = 2² Bo
Heure6: B6 = 2 x B4 = 2³Bo
Heure 8: B8 = 2 x B6 = 2^{4 = 8/2}Bo
...
Heure n: Bn = 2^n/2 Bo

n = 12

Heure 12: B12 = 2^12/2 Bo = 2⁶ Bo = 2⁶ x 15 = 960

Au bout de 12 heures, doublant à toutes les 2 heures, 15 bactérie prolifèrent pour en compter 960.

2.5. exercice 5:

Maintenant le nombre de bactéries présentes dans une certaine culture double chaque heure.
On veut savoir le nombre d'heures pour qu'une bactérie en génère 3 000 000.

Heure 0: Bo = 1
Heure 1: B1 = 2 x Bo
Heure 2: B2 = 2 B1 = 2² Bo
Heure3: B3 = 2 x B2 = 2³Bo
Heure 4: B4 = 2 x B3 = 2⁴Bo
...
Heure n: Bn = 2ⁿ Bo

Bn = 3 000 000

2ⁿ Bo = 3 000 000
2ⁿ x 1 = 3 000 000
On passe au log :

n log (2) = log(3 000 000) = 6 + log(3)

n = (6 + log(3)) /log (2) = 6.48/0.30 = 21.53

Au bout de 21.53 heures, doublant à toutes les heures, 1 bactérie prolifère pour en compter 3 millions.

2.6. exercice 6:

Maintenant le nombre de bactéries présentes dans une certaine culture triple chaque jour.
On veut savoir en combien de jours 5 bactéries en engendreront 1 200 000.

Jour 0: Bo = 5 bactéries
Jour 1: B1 = 3 x Bo
Jour 2: B2 = 3 B1 = 3² Bo
Jour 3: B3 = 3 x B2 = 3³Bo
Jour 4: B4 = 3 x B3 = 3⁴Bo
...
Jour n: Bn = 3ⁿ Bo

Bn = 1 200 000

3ⁿ Bo = 1 200 000
3ⁿ x 5 = 3 000 000
3ⁿ = 3 000 000/5 = 600 000

On passe au log :

n log (3) = log(600 000) = 5 + log(6)

n = (5 + log(6)) /log (3) = 5.778/0.477 = 12.11

Au bout de 12.11 jours, triplant à tous les jours, 5 bactérie prolifèrent pour en compter 1 200 000.

3. Population d'un village

3.1. exercice 1

La population d'un village augment de façon exponentielle depuis 1988. Elle augmente de 10% par année.

Année 0: Po
Année 1: P1 = Po + (15%)Po = (1 + (15%))Po
Année 2: P2 = P1 + (15%)P1 = (1 + (15%))P1 =
Po(1 + (15%))²
...
Année n: Pn = Po(1 + (15%))ⁿ

Pn = 2 Po (population a doublé)

Po(1 + (15%))ⁿ = 2 Po
(1 + (15%))ⁿ = 2
(1.15)ⁿ = 2

On passe au ln :

n log (1.15) = ln(2) = 0.69

n = 0.69/log(1.15) = 4.94

La population a doublé au bout de 4.94 ≈ 5 ans; c'est à dire en 1988 + 5 = 1993.

3.2. exercice 2

La population d'un village dimunue de façon exponentielle de 14% par an; depuis 1990 où elle comptait 1500 habitants.

Année 0: Po = 1500 habitants
Année 1: P1 = Po - (14%)Po = (1 - (14%))Po
Année 2: P2 = P1 - (14%)P1 = (1 - (14%))P1 =
Po(1 - (14%))²
...
Année n: Pn = Po(1 - (14%))ⁿ

Pn < 200 habitants

1500.(1 - (14%))ⁿ < 200
(0.86)ⁿ < 200/1500 = 2/15 = 0.1333

On passe au ln :

n ln (0.86) < ln(0.1333)

n < ln(0.1333)/log(0.86) = - 2.015/-0.151 = + 13.36

La population compte moins de 200 habitants au bout de 13 années; en diminuant à 14% l'an; c'est à dire en 1990 + 13 = 2003.

3.3. exercice 3

La population du Québec double tous les 40 ans.On veut déterminer l'expression de l'équation exponentielle qui représente cette situation.

Année 0: Po habitants
Année 40: P40 = 2 x Po
Année 80: P80 = 2 x P40 =
2²Po
Année 120: P120 = 2 x P80 =
2^{3 = 120/40}Po
...
Année n: Pn = ^n/40Po

L'accroissement de la population du Québec est représenté par la formule Pn = ^n/40Po où Po est la population à une année quelconque.

3.4. exercice 4

La population mondiale double tous les 35 ans. Elle était de 4 milliards en 1975. On veut déterminer cette population en l'an 2010, et trouver une expression générale pour cette situation.

Année 1975: Po = 4 milliards
Année 2010: P1 = 2 x Po = 8 milliards
Année 2045: P2 = 2 x P1 = 2²Po
Année 2080: P3 = 2 x P2 = 2³Po
...
Année n: Pn = 2^{(n - 1975)/35}Po

L'accroissement de la population du Québec est représenté par la formule Pn = ^n/40Po où Po est la population à une année quelconque.

3.5. exercice 5

Une ville comptait 100 000 habitants en 1980 et 200 000 en 1986. On veut savoir sa population en l'an 2004 si le taux d'accroissement demeure constant. Cette population double chaque 6 ans.

Année 1980: Po = 100 000 habitants
Année 1986: P1 = 2 x Po = 200 000 habitants
Année 1992 P2 = 2 x P1 = 2²Po
Année 1998: P3 = 2 x P2 = 2³Po
Année 2004: P4 = 2 x P3 = 2⁴Po = 2⁴ x 100 000 = 1600000 habitants
...
Année n: Pn = 2^{(n - 1980)/6}Po

L'accroissement de la population de cette ville est représenté par la formule Pn = 2^{(n - 1980)/6}Po où Po est la population en l'année 1980.

4. Matière radiactive

4.1. exercice 1

Une matière radiactive se désintègre à un rythme de 8% par an. On veut savoir sa demi-vie; c'est à dire en combien d'années cette matière uara diminué de moitié.

Année 0: Mo
Année 1: M1 = Mo - (8%)Mo = (1 - 8%)Mo
Année 2: M2 = M1 - (8%)M1 = (1 - (8%))M1 =
Mo(1 - (8%))²
...
Année n: Mn = Mo(1 - (8%))ⁿ

Mn = M0/2

Mo(1 - (8%))ⁿ = Mo/2
(1 - (8%))ⁿ = 1/2
(0.92)ⁿ = 1/2

On passe au ln :

n ln (0.92) = - ln(2)

n = - ln(2)/ln (0.92) = - 0.69/-0.083 = + 8.275

La demi-vie de cette matière est 8.275 ans.

4.2. exercice 2

Une certain sel radiactif se désintègre à une vitesse de telle façon qu'après une année il ne reste que les 3/4 de la masse initiale. On veut savoir combien il en restera après 5 ans avec 36 grammes de ce sel au départ.

Année 0: Mo = 36 grammes
Année 1: M1 = (3/4)Mo
Année 2: M2 = (3/4)M1 =
Mo(3/4)²
...
Année n: Mn = Mo(3/4)ⁿ

n = 5

M5 = Mo(3/4)⁵ = 36 x (3/4)⁵ = 8.543 grammes

Ce désintégrant à une vitesse de telle façon qu'après une année il ne reste que les 3/4 de la masse initiale, pour une masse de 36 grammes ce sel, il n'en restera que 8.543 grammes au bout de 5 ans.