Maths
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Géométrie
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Mathématiques: Géométrie
Les principales propriétés en Géométrie
Les principales propriétés
1. Droites
• Si deux droites sont parallèles à une même troisième, alors elles sont
parallèles entre elles.
• Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième, alors elles
sont parallèles entre elles.
• Si deux droites sont parallèles et si une troisième droite est
perpendiculaire à l'une d'elles, alors elle est perpendiculaire à l'autre.
• Si trois points forment deux droites parallèles, alors ils sont alignés.
2. Médiatrice
• Si un point est équidistant des extrémités d’un segment, alors il est sur la médiatrice de ce segment.
• Si un point est sur la médiatrice d'un segment, alors il est équidistant des extrémités de ce segment.
• Si une droite est perpendiculaire à une deuxième et passe par le milieu d'un segment de cette droite, alors elle est la médiatrice de ce segment.
• Si une droite est la médiatrice d'un segment, alors elle est
perpendiculaire à la droite de ce segment et passe par le milieu de
ce segment.
• Si une droite contient deux points équidistants de deux extrémités d'un segment, alors cette droite est la médiatrice de
ce segment.
• Si une droite est perpendiculaire à une deuxième droite et
contient un point equidistant des deux extrémités d'un segment de
cette droite, alors elle est la médiatrice de ce segment.
3. Triangle
• Dans un triangle, la longueur d'un côté est strictement inférieure à la
somme des longueurs des deux autres côtés.
• Si dans un triangle une droite passe par le milieu d'un côté et est parallèle
à un deuxième côté, alors elle coupe le troisième en son milieu.
• Si dans un triangle une droite passe par les milieux de
deux côtés, alors elle est parallèle au troisième.
• Si un triangle est rectangle, alors le carré de son hypoténuse
est égale à la somme des carrés des côtés de l'angle droit (théorème de
Pythagore).
• Si dans un triangle le carré d'un côté
est égal à la somme des carrés des deux autres côtés, alors le
triangle est rectangle en l'angle opposé au premier côté.
• Si deux droites sécantes traversent deux droites
parallèles, alors les rapports des côtés homoloques
des deux triangles formés sont équivalents (théorème de Thalès)
• Si les rapports des côtés homoloques de
deux triangles ayant un sommet commun sont équivalents,
alors les droites opposées à ce sommet commun sont
parallèles (réciproque du théorème de Thalès).
4. Cercle
• Si un point est sur un cercle de centre, alors la distance entre
ce point et le centre du cercle est égale au rayon de ce cercle.
• Si un triangle est rectangle, alors le milieu de l'hypoténuse
est le centre du cercle circonscrit à ce triangle, ou
• Si un triangle est rectangle, alors la médiane issue du sommet de
l'angle droit est égale à la moitié de l'hypoténuse.
• Si un point est sur le cercle, alors l'angle formé par les
segments joignant ce point aux extrémités du diamètre est droit, ou
• Si un point est sur le cercle, alors les droites formées
par ce point et les extrémités du diamètre sont perpendiculaires.
5. Angle
• Dans un triangle la somme des angles est égale à 180°.
• Si deux angles sont opposés par le sommet, alors ils sont égaux.
• Si deux angles sont alternes-internes formés à partir de droites
parallèles, alors ils sont égaux.
• Si deux angles sont correspondants formés à partir de droites parallèles, alors ils sont égaux.
• Si un triangle est isocèle, alors les angles à la base sont égaux.
• Si un triangle est équilatéral, alors ses trois angles sont
égaux à 60°.
• Si l'angle formé par trois points est plat, alors, les trois
points sont alignés.
• Si un triangle a deux angles égaux, alors il est isocèle.
• Si un triangle a trois angles égaux, alors il est équilatéral.
• Si un triangle est isocèle en un sommet, alors la hauteur, la médiane issues de ce sommet, la bissectrice de l'angle au sommet, et la médiatrice du côté opposé au sommet sont confondues, ou
• Si un triangle est isocèle en un sommet, alors les droites remarquables relatives à ce sommet sont confondues.
• Si dans un triangle deux droites remarquables relatives à un sommet sont confondues alors il est isocèle en ce sommet.
6. Angle et cercle
• Si un angle au centre et un angle inscrit interceptent le même arc, alors la mesure de l'angle au centre est double de celle de l'angle inscrit.
• Si deux angles inscrits interceptent le même arc, alors ils sont égaux.
7. Parallélogramme
• Si un quadrilatère a des côtés opposés parallèles deux à deux, alors c'est un parallélogramme.
• Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses côtés opposés sont parallèles deux à deux.
• Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses diagonales ont le même milieu.
• Si un quadrilatère a des diagonales qui ont le même milieu, alors c'est un parallélogramme.
• Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses côtés opposés sont de même longueur deux à deux.
• Si un quadrilatère non croisé a deux côtés opposés parallèles et de même longueur, alors c'est un parallélogramme.
8. Losange
• Si un quadrilatère a quatre côtés égaux, alors c'est un losange.
• Si un quadrilatère est un losange, alors il a quatre côtés de même
longueur.
• Si un quadrilatère a des diagonales perpendiculaires et qui ont le même milieu, alors c'est un losange.
• Si un quadrilatère est un losange, alors il a des diagonales perpendiculaires et qui ont le même milieu.
9. Rectangle
• Si un quadrilatère a trois angles droits, alors c'est un rectangle.
• Si un quadrilatère est un rectangle, alors il a quatre angles droits.
• Si un quadrilatère a des diagonales de même longueur et qui ont le même milieu, alors c'est un rectangle.
• Si un quadrilatère est un rectangle, alors il a des diagonales de même longueur et qui ont le même milieu.
10. Carré
• Si un quadrilatère a quatre côtés de même longueur et un angle droit, alors c'est un carré.
• Si un quadrilatère est un carré, alors il a quatre angles droits et quatre côtés de même longueur.
• Si un quadrilatère a des diagonales de même longueur perpendiculaires et qui ont même milieu, alors c'est un carré.
• Si un quadrilatère est un carré, alors il a des diagonales de même longueur perpendiculaires et qui ont le même milieu.
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