Mathématiques 45: Géométrie:
Droites parallèles, droites perpendiculaires et
droites sécantes

1. Droites parallèles

1.1. Règle

Deux droites sont parallèles si elles ont une même pente.

D1: y = a1 x + b1
D2: y = a2 x + b2


On a: a1 = a2.

Si b1 ≠ b2, les droites sont disjoints.

Si a1 ≠ 0 et a2 ≠ 0, les droites sont obliques.

Si a1 = a2 et b1 = b2, les droites sont parallèles confondues.

1.2. Exemples

1. Les droites d'équations respectives:

y = 2 x + 3, et
y = 2 x - 7
sont parallèles.

Les ordonnées à l'origine sont différentes :
+ 3 ≠ - 7. Elles sont donc disjointes.






2. Trouver l'équation de la droite D1, parallèle disjointe à la droite D2 d'équation: y = 3 x + 5, et qui doit passer par le point P(2, 4)?


D1 : y = a1 x + b1
D2 : y = 3 x + 5

D1 ∥ D2 → a1 = 3.

D1 passe par le point (2, 4) → 4 = (3)(2) + b1

C'est à dire: 4 = 6 + b1

d'où b1 = - 2

Ainsi l'équation de la droite cherchée est :

D1: y = 3 x - 2

2. Droites sécantes

2.1. Règle

Deux droites sont sécantes si elles n'ont pas la même pente.

D1: y = a1 x + b1
D2: y = a2 x + b2

On a: a1 ≠ a2.

2.2. Exemples

1. Les droites d'équations respectives:

y = 2 x + 3, et
y = - 4 x - 7
sont sécantes.

Les ordonnées à l'origine peuvent être égales ou différentes
.

2. Trouver une droite sécante à la droite d'équation y = - 6 x + 12 ?

Il suffit d'une équation avec une pente différente de - 6. Par exemple : y = 4 x + 1.

3. Droites perpendiculaires

2.1. Règle

Deux droites sont perpendiculaires si la pente de l'une est égale à l'opposé de l'inverse de l'autre.

Autrement dit, le produit des pentes est égale à - 1.

D1: y = a1 x + b1
D2: y = a2 x + b2


On a: a1 = - 1/a2, ou a1 . a2 = - 1

2.2. Exemples

1. Les droites d'équations respectives:

y = 2 x + 3, et
y = - 0.5 x - 7
sont perpendiculaires.

Les ordonnées à l'origine peuvent être égales ou différentes
. Les droites perpendiculaires sont toujours sécantes.


2. Trouver l'équation d'une droite perpendiculaire à la droite d'équation y = - 6 x + 12 ?

Il suffit d'une équation avec une pente égale à l'opposé de l'inverse de - 6. C'est à dire +1/6.
Par exemple y = (1/6) x - 4.


3.

Trouver l'équation d'une droite D1 perpendiculaire à la droite D2 d'équation y = - (1/2) x + 5 et passant par le point P(0, 3).

D1: y = a x + b, l'équation cherchée.

D1 ⊥ D2 → a = + 2
.

D1 passe par P → 3 = (2)(0) + b

D'où b = 3.

Ainsi l'équation de la droite D1 est:

y = 2 x + 3