Mathématiques 23 : Géométrie
Symétrie axiale
Axe de symétrie
1. Symétrie axiale
1. Définition
Le point M’ est le point symétrique du point M par rapport à la
droite (d) signifie que :
• Le segment [MM’] est perpendiculaire à (d),
• Le milieu de [MM’] est sur la droite (d).
On dit que M’ est le symétrique de M par la symétrie axiale d’axe (d),
ou M’ est le symétrique de M par rapport à l'axe de symétrie (d)
On note que:
• Si M’ est le symétrique de M, alors M est le symétrique de M’.
• Si un point A est sur l'axe (d), son symétrique A' est A lui-même,
c'est à dire que les points A et A' sont confondus.
2. Construction d'un point symétrique
On construit le symétrique M' d'un point M au moyen de deux méthodes:
• D'une équerre pour construire l'angle droit et d'un compas pour
placer le point symétrique à égale distance de l'axe, ou
• Juste d'un compas en traçant un losange.
3. Symétrique d’un segment :
Le symétrique d'un segment [AB] par rapport à (d) est le
segment[A’B’].
AB = A’B’
Le symétrique d’un segment est un segment de même longueur.
Propriété : La symétrie conserve les longueurs.
4. Symétrique d’un angle :
Le symétrique de l'angle xAy par rapport à (d)
est l'angle x’A’y’.
xAy = x’A’y’.
Le symétrique d’un angle est un angle de même mesure.
Propriété:
La symétrie conserve les mesures des angles.
5. Symétrique d’une droite :
Le symétrique de la droie(AB) par rapport
(d) à est la droite (A’B’).
La symétrique d’une droite est une droite.
On note : Le symétrique de la demi-droite [AB) par rapport à (d) est la demi-droite [A’B’).
Le symétrique d’une demi-droite est une demi-droite.
Propriété :
La symétrie conserve la perpendicularité et le parallélisme.
6. Symétrique d’un cercle :
Le symétrique du cercle (C) par rapport à (d) est le cercle
cercle (C') de même rayon .
Le symétrique d’un cercle est un cercle de même rayon.
Propriété :
La symétrie conserve le cercle.
7. Symétrique d’un point milieu :
Le symétrique du point milieu I du segment [A,B] par rapport à (d) est le milieu I' du segment [A',B'] symétrique du segment [A,B]
Propriété :
La symétrie conserve le milieu.
8. Symétrie des périmètres :
Propriété :
La symétrie conserve les périmètres.
9. Symétrie des aires :
Propriété :
La symétrie conserve les aires.
2. Axes de symétrie :
1. Définition :
Une droite (d) est l’ axe de symétrie d’une figure
lorsque le symétrique de cette figure par rapport à (d) est la réplique de la figure initiale.
2. Axes de symétrie des figures géométriques
• 1. Médiatrice d’un segment :
La médiatrice d’un segment[A,B] est la droite (d) perpendiculaire à ce segment en son milieu.
(d) est l’axe de symétrie du segment.
Propriété :
La médiatrice d’un segment est l'axe de symétrie de ce segment.
• 2. Bissectrice d’un angle
La bissectrice d’un angle est la demi-droite qui partage
l’angle en deux angles adjacents de même mesure.
La droite qui prolonge la bissectrice est l’axe de
symétrie de l’angle.
Propriété :
La bissectrice d'un angle est l’axe de
symétrie de cet angle.
• 3. Triangle isocèle
La médiatrice de la base d'un triangle isocèle, qui est aussi
la bissectrice de l'angle au sommet est l'axe de symétrie de ce triangle.
Propriété :
L'axe de symétrie d'un triangle isocèle est la médiatrice,
ou la médiane, ou la hauteur de sa base.
Propriété :
L'axe de symétrie d'un triangle isocèle est la bissectrice de son angle au sommet.
• 4. Triangle équilatéral
Un triangle équilatéral possède
trois axes de symétrie.
Ce sont les médiatrices des trois
côtés et les bissectrices des trois
angles.
Propriété :
Les trois axes de symétrie d'un triangle équilatéral sont les
bissectrice de ses angles au sommet.
Propriété :
Les trois axes de symétrie d'un triangle équilatéral sont les
médiatrices ou les médianes, ou les hauteurs de ses bases.
• 5. Rectangle
Le rectangle possède deux axes
de symétrie.
Ce sont les médiatrices des côtés.
Propriété :
Les médiatrices des côtés d'un rectangle sont les deux axes
de symétrie de ce rectangle.
• 6. Losange
Le losange possède deux axes de
symétrie. Ce sont ses diagonales.
Propriété :
Les diagonales d'un losange sont ses deux axes
de symétrie.
• 7. Carré
Le carré possède quatre axes de
symétrie. Ce sont les diagonales et
les médiatrices des côtés.
Propriété :
Les diagonales et les médiatrices des côtés d'un carré
sont les quatres axes de symétrie du carré.
3. Application:
• Tracer un triangle ABC isocèle en A.
• Placer le point D milieu su segment [A,C].
• Tracer la (d) demi-droite [B,D.
• Placer le pint A' symétrique de A par rapport à la droite
(d).
• Placer le pint C' symétrique de C par rapport à la droite
(d).
a) Montrer que le triangleA'B'C' est isocèle en A'.
b) Montrer que le triangle ABC' est isocèle en D.
c) calculer le périmètre du polygone BC'DC .
(d) est l'axe de symétrie de la figure.
A' est le symétrique de A,
B' est le symétrique de B, confondu avec B puisque l point B est
sur l'axe de symétrie (d), et
C' est le symétrique de C.
a)
La symétrie concerve les longueurs, donc
AC = A'C' et AB = A'B'
ABC est un triangle isocèle en A, donc AB = AC.
On a donc
AC = A'C'
AB = A'B', et
AB = AC
D'où:
A'B' = A'C'. Donc le triangle A'B'C' est isocèle en A'
Le triangle A'B'C' est isocèle en A'.
b)
D est le milieu de [A,C], donc AD = DC .
Le symétrique du point D est lui même puisqu'il est
situé sur l'axe de symétrie (d).
La symétrie axiale conserve les milieux. Donc
A'D' = D'C' ou A'D = DC'.
Nous avons DC' = A'C'/2. Puisque AC = A'C' , donc
DC' = AC/2 = AD
DA = DC', donc le triangle ADC' est isocèle ene D.
Le triangle ADC' est isocèle ene D.
c)
La symétrie concerve les longeurs, donc
AB = A'B'.
Le périmètre du polygone BC'DC est égale à
P = B'C' + C'D + DC + CB =
BC + CD + BC + CD = 2 x BC + 2 x CD
Or
CD = AC/2, donc
P = 2 x BC + 2 x (AC/2) = 2 BC + AC
P = 2 BC + AC
Le périmètre du polygone BC'DC est: 2 BC + AC
Dans cet exemple:
AC = 8 cm et BC = 5.47 cm.
Le périmètre du polygone est 2 x 5.47 + 8 = 18.94 cm.
Arrondi à l'unité, le résultat est 19 cm.
Le périmètre du polygone BCDC' est égale à 19 cm.
4. Symétrie axiale: Résumé:
Symétrie axiale:
• Le point M' est le point symétrique du point M par rapport à la droite (d) signifie que :
- Le segment [MM'] est perpendiculaire à (d),
- Le milieu de [MM'] est sur la droite (d).
• La symétrie conserve les longueurs.
• La symétrie conserve les mesures des angles.
• La symétrie conserve la perpendicularité et le parallélisme.
• La symétrie conserve les cercles.
• La symétrie conserve les milieux.
• La symétrie conserve les périmètres.
• La symétrie conserve les aires.
Axes de symétrie:
• Une droite (d) est l'axe de symétrie d'une figure
lorsque le symétrique de cette figure par rapport à (d) est la réplique de la figure initiale.
• La médiatrice d'un segment est l'axe de symétrie de ce segment.
• La bissectrice d'un angle est l'axe de
symétrie de cet angle.
• L'axe de symétrie d'un triangle isocèle est la médiatrice,
ou la médiane, ou la hauteur de sa base.
• Les trois axes de symétrie d'un triangle équilatéral sont les
bissectrice de ses angles au sommet.
• Les médiatrices des côtés d'un rectangle sont les deux axes
de symétrie de ce rectangle.
• Les diagonales d'un losange sont ses deux axes
de symétrie.
• Les diagonales et les médiatrices des côtés d'un carré
sont les quatres axes de symétrie du carré.
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