Maths
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Géométrie
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Mathématiques 23 : Géométrie
Symétrie centrale
1. Définitions
La symétrie axiale se construit par rapport à une droite
(axe de symétrie). La symétrie centrale se construit à partir d’un point.
Ce point est appelé centre de symétrie .
La symétrie de centre O ou symétrie par rapport à O d'un
point A est la transformation qui associe à ce point A
le point A' tel que O soit le milieu [AA'].
Le point A' est appelé le symétrique (ou l'image) de A dans cette symétrie.
Dans la symétrie centrale, le seul point invariant est le point O.
Le symétrique du point O est le point O lui-même.
2. Symétrie centrale d'un segment
Si les symétriques de deux points distincts A et B dans la symétrie de centre O, sont les points A' et B', alors le symétrique
du segment [A,B] et le segment [A',B'] telque
AB = A'B'.
Le symétrique du segment [AB] est le segment [A'B'] parallèle à [AB] et de même mesure.
La transformation par symétrie centrale montre un
parallélogramme où les diagonales se coupent en leurs milieux.
Comme la symétrie axiale,
La symétrie centrale conserve les longueurs.
2. Symétrie centrale d'une figure géométrique
La symétrie centrale est une isométrie .
La symétrie centrale conserve la droite, les longueurs, les cercles (même rayon), le parallélisme, la perpendicularité, l'alignement, le milieu, le périmètre et les aires.
• La symétrie centrale transforme une droite en une droite
parallèle.
• La symétrie centrale transforme un segment en un autre de même longueur.
• Par une symétrie centrale, les images de points alignés sont alignées.
• Par une symétrie centrale, une droite est transformée en une droite parallèle. Ce n'est pas le cas pour la symétrie axiale.
• La symétrie centrale conserve les milieux : le symétrique du milieu d'un segment est le milieu du symétrique de ce segment.
• La symétrie centrale conserve le parallélisme : les symétriques de deux droites parallèles sont parallèles.
• La symétrie centrale conserve la perpendicularité : les symétriques de deux droites perpendiculaires sont perpendiculaires.
• La symétrie centrale conserve la mesure des angles.
• La symétrie axiale est une rotation d'angle π et d'axe
vertical. La symétrie centrale est une rotation d'angle π et d'axe
horizontal.
3. Centres de symétrie
3.1. Définition
Lorsqu'une figure a pour symétrique elle-même par rapport à un point, on dit que ce point est le centre de symétrie de la figure.
Autrement dit, une figure géométrique posséde un centre de symétrie O si elle est globalement invariante dans la symétrie de centre O.
3.2. Propriétés
• Le centre de symétrie d'un segment est son milieu.
• Le centre de symétrie d'un parallélogramme est le
point d'intersection de ses diagonales.
• Le centre de symétrie d'un losange est le
point d'intersection de ses diagonales.
• Le centre de symétrie d'un rectangle est le
point d'intersection de ses diagonales.
• Le centre de symétrie d'un carré est le
point d'intersection de ses diagonales.
• Le centre de symétrie d'un cercle est son centre.
4. Exercice résolu
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