Mathématiques 2: Géométrie
Triangle d'or

1. Construction du triangle d'or:

• Tracer un segenent de droite vertical [AB],

• Tracer ensuite le segment de droite horizontal [BC] perpendiculaire à [AB] et de mesure double de celle du segment [AB]. On a donc BC = 2 AB

• Joindre les points A et C qui formeront l'hypoténuse [AC] du triangle rectangle ABC rectangle en B de côtés [AB] et [BC].

Selon Pythagore, AC = AB √5.

• Faire une rotation de ce côté [AC] autour du point A pour aligner verticalement les trois points B, A, et C dans cet ordre. L'image du point C par cette rotation est le point D.

On obtient le segment vertical [BD] = [BA] + [AD] de mesure BD = BA + AD = BA + BA √5 = BA(1 + √5) ,

• Construire un triangle isocèle de base [BC] et de côté [BD]. Ce triangle DBC est appelé triangle d'or

Le rapport du grand côté [BD] et de la base [BC] a pour mesure

φ BD/BC = BA(1 + √5)/2 AB = (1 + √5)/2

φ = (1 + √5) /2 est appelé nombre d'or.

2. Hauteur du triangle d'or

On peut calculer sa hauteur au moyen de la propriété de Pythagore:

h ² = φ² BC ² - AB ² =
4 φ² AB² - AB ² = AB² (4 φ² - 1) =
AB² ((1 + √5)² - 1) = AB² (5 + 2√5)

Donc

h = AB √(5 + 2√5)