Mathématiques 2: Angles et polygones

1. Définitions

Un angle est défini par l'intersection de deux demi-droites. Le point d'intersection s'appelle le sommet de l'angle et les demi-droites, les côtés de l'angle.

Un angle est représenté par son sommet ou à l'aide de ses côtés .

Un angle aigu mesure moins que 90°.
Un angle obtus mesure plus que 90°.
Un angle droit mesure 90°.
L'angle nul mesure 0°.
L'angle plat mesure 180°.
L'angle plein mesure 360°.

La bissectrice d'un angle est la droite qui passane par le sommet de l'angle et qui partage cet angle en deux angles de même mesure.

Deux angles ayant un même sommet et un côté commun sont adjacents .

Deux angles sont complémentaires si la somme de leurs mesuresest égale à 90° .

Deux angles sont supplémentaires si la somme de leurs mesures est égale à 180° .

La somme des mesures des angles intérieurs d’un triangle vaut 180°

La somme des mesures des angles intérieurs d’un quadrilatère vaut 360°.

La somme des mesures des angles intérieurs d’un polygone de N côtés vaut (N - 2) x 180°.


Les angles opposés par le sommet sont égaux. Il sont construits par deux droites sécantes.

Les angles correspondants et les angles alternes-internes sont construits par deux droites et une sécante.

Si ces deux droites sont parallèles, alors: Les angles correspondants sont égaux. Les angles alternes-internes sont égaux.

Si les angles alternes-internes sont égaux alors leurs droites sont parallèles.

Si les angles correspondants sont égaux alors leurs droites sont parallèles.

Un triangle est formé de trois côtés.

Un triangle isocèle est un triangle qui a deux côtés de même mesure.

Un triangle équilatéral a ses trois côtés de même mesure.

Si un triangle est isocèle alors ses angles à la base sont égaux.

Dans un triangle équilatéral, tous les angles sont égaux à 60°.

Inégalité triangulaire : dans un triangle, la somme des longueurs des deux plus petits côtés est supérieure ou égale à la mesure du plus grand côté.

La hauteur d'un triangle est la droite (ou segment de droite) issu d'un somet et perpendiculaire au côté qui lui est opposé.

Dans un triangle les hauteurs sont concourantes en L'orthocentre du triangle est le point de rencontre de ses hauteurs.

Dans un triangle la médiane est le segment joignant un sommet au milieu du côté opposé.

Dans un triangle, les médianes sont concourantes en un point appelé le centre de gravité du triangle.

Dans un triangle, les bissectrices sont concourantes au centre du cercle inscrit au triangle.

Le cercle inscrit au triangle est le cercle tangent aux 3 côtés du triangle.

Dans un triangle, les médiatrices des trois côtés sont concourantes au centre du cercle circonscrit au triangle.

Le cercle circonscrit est le cercle qui passe par tous les sommets.

Dans un triangle isocèle en un sommet, la hauteur, la bissectrice, la médiane issue de ce sommet, et la médiatrice de son côté opposé sont confondues.

Triangles isocèles:

Si un triangle a ses angles à la base égaux alors il est isocèle.

Si dans un triangle la médiane issue d'un sommet et la médiatrice de sont côté opposé sont confondues alors il est isocèle en ce sommet.

Si dans un triangle la médiane issue d'un sommet et la bissectrice de ce sommet sont confondues alors il est isocèle en ce sommet.

Si dans un triangle la médiane et la hauteur issues d'un sommet sont confondues alors il est isocèle en ce sommet.

Si dans un triangle la hauteur issue d'un sommet et la médiatrice de son côté opposé sont confondues alors il est isocèle en ce sommet.

Si dans un triangle la hauteur issue d'un sommet et la bissectrice de ce sommet sont confondues alors il est isocèle en ce sommet.

Si dans un triangle la bissectrice d'un sommet et la médiatrice de son côté opposé sont confondues alors il est isocèle en ce sommet.

Dans un triangle équilatéral, les hauteurs, médianes, médiatrices, bissectrices sont confondues.

Si un triangle a tous ses trois angles égaux (à 60°), alors il est équilatéral.

Si dans un triangle, toutes les hauteurs, médianes, médiatrices, et bissectrices sont confondues alors il est équilatéral.

Triangles rectangles:

Un triangle rectangle est un triangle qui a deux côtés perpendiculaires.

Le côté opposé au sommet de l’angle droit s’appelle l’hypoténuse du triangle rectangle.

Le centre du cercle circonscrit à un triangle rectangle est le milieu de l'hypoténuse.

Si un triangle est rectangle, alors le milieu de l’hypoténuse est le centre du cercle circonscrit au triangle.

Si un triangle est rectangle, alors le milieu de son hypoténuse est à égale distance des trois sommets.

Théorème de la médiane:
Le segment-médiane issu du sommet de l’angle droit a pour longueur la moitié de la longueur de l’hypoténuse.

Si un triangle est inscrit dans un cercle de diamètre un des côtés du triangle, alors ce triangle est rectangle.

Si on joint un point d'un cercle aux extrémités d'un diamètre, alors on obtient un triangle rectangle d'hypoténuse égale au diamètre de ce cercle.

Dans un triangle, si le milieu d’un côté est à égale distance des trois sommets, alors ce triangle est rectangle

Dans un triangle, si le milieu d’un côté est le centre du cercle circonscrit au triangle, alors ce triangle est rectangle.

2. Exercices

Exercice 1

On considère un triangle ABC. Par un point M du côté, on mène une parallèle au côté [B,C] qui coupe le côté [A,C] en N de telle sorte que le triangle BMN soit isocèle.

On donne: AB = 4 cm, et BC = 6 cm.

Question:

a) Calculer la valeur du côté x = [M,B].

b) Démontrer que la demi-droite [B,M) est bissectrice
de l'angle $\hat{B}.$

Réponse:

a) Les droites (BC) et (MN) sont parallèles.
D'après la propriété de Thalès:

$\Large\frac{AM}{AB} = \Large\frac{MN}{BC}.$ D'où: $\Large\frac{4 - x}{x} = \Large\frac{x}{6} .$

On obtient x = 2.4 cm.

b) Le triangle BMN est isocèle, donc ses angles à la base sont isométriques:

mes ($\hat{B1}$ ) = mes ($\hat{N1}$ )     (1)

Les droites (BC) et (MN) sont parallèles, donc les angles alternes internes $\hat{B2}$ et $\hat{N1}$ sont isométriques:

mes ($\hat{B2}$ ) = mes ($\hat{N1}$ )     (2)

La comparaison des relations (1) et (2) permet d'ecrire:

mes ($\hat{B1}$ ) = mes ($\hat{B2}$ )

Donc: la demi-droite [BC) est bissectrice de l'angle $\hat{B}$.

Exercice 2

Le quadrilatère ABCD est un carré.
M est le milieu du côté DC.

Question:

Montrer que le triangle AMB est isocèle.

Réponse:

ABCD est un carré donc AD = DC

M est le milieu du côté DC, donc DM = MC = DC/2

Le théorème de Pythagore s'ecrit:

AM² = AD² + DM²

DM = DC/2

AM² = AD² + (DC/2)²

AD = DC

AM² = AD² + (AD/2)²

AM²= 5 AD²/4

Donc

AM = √5 AD/2

La même démonstration conduit à:

BM = √5 AD/2

Ainsi

AM = MB.

Le triangle AMB est isocèle.

Exercice 3

ABCD est un rectangle.

Question:

Montrer que le point O, d'intersection des diagonales du rectangle, est aussi le point d'intersection des médiatrices du triangle ABD.

Réponse:

ABCD est un rectangle. Donc ses diagonales sont égales et se coupent en leur milieu.

Ainsi OA = OB = OD = rayon d'un même cercle "Ce" de centre O.

Ce cercle "Ce" est circonscrit au triangle ABD, donc le centre du cercle O est le point de rencontre des médiatrices.

Exercice 4

Question:

ABD est isocèle en D.
mes(ADB) = 80°.
L'angle ACD est la moitié de l'angle ADB.
Démontrer que l'angle ADC est droit.

Réponse:

ADB est un triangle isocèle en D.

Si un triangle est isocèle, alors ses angles à la base sont égaux.

Donc : mes(ABD) = mes (BAD) = 50°

Dans le triangle ACD, mes(ACD) = mes(ADB)/2 = 80/2 = 40°

Dans un triangle, la somme des mesures des angles intérieurs est égale à 180°

Donc mes (ADC) = 180° – (50° + 40°) = 180° – 90° = 90°.

L'angle ADC est droit.

Exercice 5

Question:

Démontrer que le triangle ABC doit être un triangle rectangle.


Réponse:

1. Enoncé du théorème de Pythagore:

Si un triangle est rectangle, alors le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des côtés de l’angle droit.

2. Réciproque du théorème de Pythagore

Si dans un triangle, le carré d'un côté est égal à la somme des carrés des deux autres côtés, alors ce triangle est rectangle.

3. Applications du théorème de Pythagore :

Le côté le plus long est : [BC]

BC² = 50² = 2500.
AB² = 40² = 1600.
AC² = 30² = 900

On a

BC² = AB² + AC².

D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en A.

Exercice 6

Question:

Montrer que l'angle C est droit. Réponse:

Les segements [OA], [OB] et [OC] on même mesure `égale au rayon du cercle de centre O.

Donc les triangles OAC et OCB sont tous les deux isocèles.

Par conséquent

mes(A) = mes(C1)
mes(B) = mes(C2)

Dans un triangle, la somme des mesures des angles intérieurs est égale à 180°. Nous avons donc:

mes(A) + mes(C1) + mes(O1) = 180°    (1)
et
mes(B) + mes(C2) + mes(O2) = 180°    (2)

Puisque mes(A) = mes(C1) et mes(B) = mes(C2) les deux equations (1) et (2) s'ecrivent:

2 mes(C1) + mes(O1) = 180°    (1')
et
2 mes(C2) + mes(O2) = 180°    (2')

La sesure d'un angle plat est égale à 180°.

Donc mes(O1) + mes(O2) = 180°

En additionnant les equations (1') et (2') membre à membre, on obtient:

2 (mes(C1) + mes(C2)) + 180° = 180° + 180° = 360°
Ou
2 (mes(C1) + mes(C2)) = 180°

C'est à dire

mes(C1) + mes(C2) = 90°

les angles C1 et C2 sont adjacents, donc

mes(C1) + mes(C2) = mes(C1 + C2) = mes (C).

Finalement, on obtient:

mes(C) = 90°

Conclusion:

L'angle C est droit.

Exercice 7 : Rectangle d'or

Questions:

a) Constructruire un rectangle d'or :

- Tracer un carré ABCD,
- Noter O le milieu de [BC],
- Tracer un cercle C de centre O et de rayon (OD),
- Prolonger [OC) jusqu'au cercle,
- Noter M le point d'intersection de (OC) sur ce cercle,
- Prolonger [AD],
- Dresser la perpendiculaire à partir du point M,
sur ce prolongement de [AD],
- Noter N le point d'intersection.

Le rectangle obtenu ABMN est un rectangle d'or.

b) Montrer que b/a = (1 + √5)/2.


Réponse:

OC = a/2 , CD = a

On applique le théorème de Pythagore:

OD² = (OC)² + (CD)² = (a/2)² + a² = 5 a²/4

Donc

OD = (a/2) x √5

On a

OM = OD = (a/2) x √5

Ainsi

b = BM = BO + OM = (a/2) + (a/2) x &radic5; =

b = (a/2)(1 + √5 )

ou

b/a = (1 + √5)/2 .

nombre d'or = (1 + √5 )/2 .

Exercice 8

ABC est un triangle rectangle. [AH] est la hauteur sur [BC] issue du sommet A Questions:

Montrer que: HA² = HC² + HB² .


Réponse:

L'aire du triangle rectangle ABC est égale à:

AB x AC/2 = BC x AH/2

Donc

AB x AC = BC x AH

Le théorème de Phythagore permet d'ecrire les trois formuls suivantes:

AB² = HA² + HB²    (1)

AC² = HA² + HC²    (2)

AB² + AC² = BC²    (3)

En additionnant les deux équations (1) et (2) membre à membre, on obtient:

AB² + AC² = 2 HA² + HB² + HC²

Compte tenu de la formule (3), on ecrit:

BC² = 2 HA² + HB² + HC²

ou

2 HA² = BC² - HB² - HC²

Or BC² = (HB+ HC)² = HB² + HC² + 2 HB x HC

On obtient donc

2 HA² = HB² + HC² + 2 HB x HC - HB² - HC² =
2 HB x HC

Il vient:

2 HA² = 2 HB x HC

2 HA² = 2 HB x HC

HA² = HB x HC

Dans un triangle rectangle ABC rectangle en A, où H étant le pied de la hauteur issue du point A, on a: HA² = HB x HC

Exercice 9

ABC est un triangle . I est le milieu du côté AB et J le milieu du côté de AC.

Question:

Montrer que:

a)Aire AIC = Aire ABC/2

b)Aire AIJ = Aire AIC/2 .


Réponse:

a) Aire ABC = AB x h/2

Aire AIC = AI x h/2 =
(AB/2) x h/2 = Aire ABC/2

Donc

Aire ICB = Aire ABC/2

b)

Aire AIC = AC x h'/2 =
(2 AJ) x h'/2 = 2(AJ x h'/2)

Donc

Aire AIJ = Aire AIC/2.

Exercice 10

• ABCD est un carré de côté quelconque.

• Méthode 1

• On donne un carré ABCD de côté quelconque.

• mes(A1) + mes (A2) = 90^o

(BC) // (AD) , A2 et C2 sont alternes internes, donc isométriques.

mes(A2) = mes(C2)

ABCD est un carré, d'où BC = AB , donc le triangle ABC est isocèle, et donc ses angles à la base A1 et C2 sont isométriques.

mes(A1) = mes(C2)

Il vient donc:

mes(A1) + mes (A2) = 90^o
mes(A1) + mes (C2) = 90^o
mes(A1) + mes (A1) = 90^o
2 x mes(A1) = 90^o
mes(A1) = 90/2 = 45^o

D'où:

mes(A2) = 45^o

Un même raisonnement conduit à:

mes(C1) = mes(C2) = 45^o,
mes(C1) = mes(C2) = 45^o, et
mes(C1) = mes(C2) = 45^o.

D'après la propriété « La somme des mesures des angles intérieurs d'un triangle est égale à 180^o », on a:

mes(O1) = mes(O2) = mes(O3) = mes(O4) = 90^o.

• les diagonales d'un carré sont perpendiculaires .

• Méthode 2

• On donne un carré ABCD de côté quelconque.

• Puisque ABCD est un carré:

AB = BC = CD = DA, et
mes(A) = mes(B) = mes(C) = mes(D) = 90^o

AB = BC, le triangle ABC est donc isocèle. Donc les angles à la base C2 et A1 sont isométriques.

mes(A1) = mes (C2)

Nous avons donc:

mes(B) = 90^o, et
mes(A1) = mes (C2) .

D'où:

mes(A1) = mes (C2) = 45^o

Le même raisonnement pour les triangles ABD, ADC et DCB donnent respectivement:

mes(D1) = mes (B2) = 45^o,
mes(C1) = mes (A2) = 45^o, et
mes(B1) = mes (D2) = 45^o.

Dans le triangle BOC, nous avons:

mes(B1) = mes (C2) = 45^o. D'où mes (O1) = 90^o

mes (O1) = 90^o .

Le même raisonnement pour les triangles AOB, AOD et DOC donnent respectivement:

mes (O2) = 90^o,
mes (O3) = 90^o, et
mes (O4) = 90^o.

Il vient donc:

mes (O1) = mes (O2) = mes (O3) = mes (O4) = 90^o.

• les diagonales d'un carré sont perpendiculaires .

• Méthode 3

• On donne un carré ABCD de côté quelconque.

• Puisque ABCD est un carré:

AB = BC = CD = DA, et
mes(A) = mes(B) = mes(C) = mes(D) = 90^o .

Utilisons la définition de la tangente:

tan (A1) = BC/AB = 1 . D'où mes(A1) = 45^o
tan (A2) = CD/AD = 1 . D'où mes(A2) = 45^o

Un même raisonnement conduit à:

mes(B1) = mes(B2) = mes(C1) = mes(C2) =
mes(D1) = mes(D2) = 45^o.

D'après la propriété « La somme des mesures des angles intérieurs d'un triangle est égale à 180^o », on a:

mes(O1) = mes(O2) = mes(O3) = mes(O4) = 90^o.

• les diagonales d'un carré sont perpendiculaires .

• Méthode 4

• On donne un carré ABCD de côté quelconque.

• Puisque ABCD est un carré:

• AB = BC = CD = DA, et
mes(A) = mes(B) = mes(C) = mes(D) = 90^o .

AB = BC, donc le triangle ABC est isocèle. Par conséquent, les angles à la bases sont isométriques. D'où:

mes(A1) = mes(C2)

D'autre part, le triangle ABC est rectangle en B. D'où:

mes(A1) + mes(C2) = 90^o.

Ainsi:

mes(A1) + mes(A1) = 90^o
2 x mes(A1) = 90^o
mes(A1) = 90/2 = 45 ^o

mes(A1) = mes(C2) = 45^o

Un même raisonnement conduit à:

mes(B1) = mes(D2) = mes(C1) = mes(A2) = 45^o.

D'après la propriété « La somme des mesures des angles intérieurs d'un triangle est égale à 180^o », on a:

mes(A1) + mes(B2) + mes(O2) = 180^o. D'où:

mes(O2) = 90^o

Un même raisonnement conduit à:

mes(O1) = mes(O2) = mes(O3) = mes(O4) = 90^o.

• les diagonales d'un carré sont perpendiculaires .