Mathématiques 45: Algèbre:
Opérations sur les polynômes rationnels
1. Polynôme rationnel
On peut additionner, soustraire, multiplier
ou diviser des polynômes rationnels,
c'est à dire sous forme de fractions
de polynômes.
Les opérations sur les polynômes rationnels
sont exactement les mêmes que celles sur
les fractions.
Il faut toujours ecrire les restrictions
qui proviennent du polynôme dénominateur qui
ne doit jamais être nul.
Exemple:
(2x2 + 1)/(x - 3) est un polynôme
rationnel.
La valeur 3 annule le dénominateur. C'est donc
la valeur qui présente la restriction.
On ecrit:
x ≠ 3.
2. Opérations sur les polynômes rationnels
Simplifier le polynôme rationnel avant
toute opération, réduire au même dénominateur, développer,
simplifier et montrer les restrictions:
Exemple 1:
(7x2 - 14)/28 = (x2 - 2)/4
Exemple 2:
(2x - 1)/(x - 1) + (x + 1)/(x + 2) =
(2x - 1)(x + 2)/(x + 2)(x - 1) + (x - 1)(x + 1)/(x - 1)(x + 2) =
[(2x - 1)(x + 2) + (x - 1)(x + 1)]/(x - 1)(x + 2) =
(2x2 + 4x - x - 2 + x2 + x - x - 1)/(x - 1)(x + 2) =
(3x2 + 3x - 3)/(x - 1)(x + 2) =
3(x2 + x - 1)/(x - 1)(x + 2)
avec x ≠ + 1 et x ≠ - 2.
Exemple 3:
2/(x2 - 1) - (x + 5)/(x2 + 2x + 1)
Nous avons:
(x2 - 1) = (x + 1)(x - 1)
x2 + 2x + 1 = (x + 1)2
Donc:
= 2/(x + 1)(x - 1) - (x + 5)/(x + 1)2 =
2(x + 1)/(x + 1)2(x - 1) - (x + 5)(x - 1)/(x - 1)(x + 1)2 =
[2(x + 1) - (x + 5)(x - 1)]/(x - 1)(x + 1)2 =
[2x + 2 - (x2 - x + 5x - 5)]/(x - 1)(x + 1)2 =
[2x + 2 - x2 - 4x + 5]/(x - 1)(x + 1)2 =
[- x2 - 2x + 7]/(x - 1)(x + 1)2 =
- (x2 + 2x - 7)/(x - 1)(x + 1)2 .
avec x ≠ + 1 et x ≠ - 1.
Exemple 4:
(x2 - 4)/(x + 7) . (- 3)/(x + 2)
Nous avons:
x2 - 4 = (x - 2)(x + 2)
Donc
=
(x + 2)(x - 2)/(x + 7) . (- 3)/(x + 2) =
(x + 2)(x - 2)(- 3)/(x + 7)(x + 2) =
- 3 (x + 2) (x - 2)/(x + 7) (x + 2) =
- 3 (x - 2)/(x + 7)
avec x ≠ - 7.
3. Signe des polynômes rationnels
Puisque la règle des signes du produit et du quotient
sont les mêmes, l'étude du signe d'un polynôme rationnel est
exactement la même que celle du signe du produit
des polynômes. Il est toujours pratique
et utile de représenter un tableau de signe.
Exemple 1:
Signe du polynôme (x - 3)/(x + 2) = Signe du polynôme (x - 3)(x + 2)
Le tableau de signe correspondant est le suivant:
Dans un même tableau, nous avons le signe du
produit et du quotient.
Exemple 2:
Signe du polynôme P(x) = (x2 - x - 6)/(x + 4)(x - 1)2.
La forme factorisée (canonique) de x2 - x - 6 est
(x - 3)(x + 2)
Le tableau de signe de P(x) est le suivant:
Le polynôme (x - 1)2 est toujours
positif, donc n'intervient pas dans les opérations.
Il faut exclure les valeurs x = - 4 et x = 1 qui
annulent le dénominateur.
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