Mathématiques 2: Géométrie
Quadrilatères
I. Parallélogramme
I.1. Définition du
parallélogramme
Un parallélogramme est un quadrilatère
dont les côtés opposés sont deux à deux parallèles.
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I.2. Propriété 1
Dans un parallélogramme les diagonales se
coupent en leur milieu.
Si ABCD est un parallélogramme alors [AC] et [BD] ont même milieu.
| I.2. Réciproque 1
Un quadrilatère non croisé dont les diagonales se coupent
en leur milieu est un parallélogramme.
Si [AC] et [BD] se coupent en leur milieu et ABCD est un
quadrilatère non croisé alors ABCD est un parallélogramme.
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I.3. Propriété 2
Dans un parallélogramme, les côtés opposés ont
même longueur.
ABCD parallélogramme alors AB = CD et AD = BC
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I.3. Réciproque 2
Un quadrilatère non croisé dont les côtés opposés ont
même longueur est un parallélogramme.
si AB = CD et AD = BC alors ABCD parallélogramme.
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I.4. Propriété 3
Dans un parallélogramme, deux côtés opposés sont parallèles et
ont même longueur.
ABCD parallélogramme alors (AB) // (BC) et AB = CD
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I.4. Réciproque 3
Un quadrilatère non croisé dont 2 côtés opposés sont parallèles et
de même longueur est un parallélogramme.
si (AB)//(CD) et AB = CD alors ABCD est un parallélogramme.
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I.5. Remarque :
Un parallélogramme possède un centre de symétrie qui est
l’intersection des diagonales. Il n'a pas
d'axe de symétrie.
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II. Rectangle
II.1. Définition du rectangle
Un rectangle est un quadrilatère qui possède quatre
angles droits.
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II.2. Propriété 1
Un rectangle est un parallélogramme ayant un angle
droit.
| II.2. Réciproque 1
Un parallélogramme ayant un angle droit est un
rectangle.
Si ABCD est un parallélogramme et mes(Â) = 90° alors ABCD rectangle
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II.3. Propriété 2
Un rectangle est un parallélogramme dont les diagonales
ont même longueur.
Si ABCD est un rectangle alors AC = BD
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II.3. Réciproque 2
Un parallélogramme dont les diagonales ont même longueur
est un rectangle.
Si ABCD est un parallélogramme et AC = BD alors ABCD rectangle
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I.4. Remarque :
Un rectangle possède 2 axes de symétries (les médiatrices des côtés)
et 1 centre de symétrie (intersection des diagonales).
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III. Losange
III.1. Définition du losange
Un losange est un quadrilatère dont les 4 côtés sont de
même longueur.
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III.2. Propriété 1
Un losange est un parallélogramme ayant 2 côtés
consécutifs de même longueur.
| III.2. Réciproque 1
Un parallélogramme ayant 2 côtés consécutifs de même
longueur est un losange.
Si ABCD est un parallélogramme avec AB = BC alors ABCD est un losange.
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III.3. Propriété 2
Un losange est un parallélogramme dont les diagonales
sont perpendiculaires.
Si ABCD est un losange alors (AC) ⊥ (BD)
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III.3. Réciproque 2
Un parallélogramme dont les diagonales sont perpendiculaires
est un losange.
Si ABCD parallélogramme et (AC) ⊥ (BD) alors ABCD
est un losange.
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III.4. Remarque :
Un losange possède 2 axes de symétries (ses diagonales) et 1
centre de symétrie (l’intersection des diagonales).
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IV. Carré
IV.1. Définition du carré
Un carré est un quadrilatère ayant 4 côtés de même longueur
et 4 angles droits.
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IV.2. Propriété 1
Un carré est à la fois un rectangle et un losange.
Un carré a donc toutes les propriétés du rectangle et du losange.
| IV.2. Réciproque 1
Pour montrer qu’un quadrilatère est un carré, il faut montrer que c’est un rectangle et un losange (en utilisant les réciproques).
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IV.3. Propriété 2
Les diagonales d’un carré se coupent en leur milieu, elles
sont perpendiculaires et de même longueur.
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IV.3. Réciproque 2
Un quadrilatère non croisé ayant des diagonales
qui se coupent en leur milieu, perpendiculaires et
de même longueur est un carré.
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III.4. Remarque :
Un carré possède 4 axes de symétries (ses 2 diagonales et ses 2 médiatrices des
côtés) et 1 centre de symétrie (l’intersection des diagonales).
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V. Exercices
V.1. Exercice 1
On représente deux diamètres [AC] et [BD]
d'un cercle de centre O.
On joint les points A, B, C, et D sur
le cercle. On obtient un quadrilatère.
Montrer que ce quadrilatère est un rectangle.
Solution:
O est le centre du cercle.
Donc
les segments [OA] et [OB] [OC] et [OD] ont
la même mesure.
Donc les diagonales du quadrilatère
se coupent en leur milieu.
Par conséquent le quadrilatère ABCD est
un parallélogramme car
Si les diagonales
d'un quadrilatère se coupent en leur milieu, alors ce quadrilatère est un parallélogramme
De plus les diagonales AC et BD ont la même mesure,
donc le parallélogramme ABCD est un rectangle car:
Si un parallélogramme a ses diagonales de même longeur alors ce parallélogramme est un rectangle
V.2. Exercice 2
a) Calculer la mesure de l'angle FEG.
b) Tracer la parallèle à EF passant par le point G et
la parallèle à EG passant par le point F. Ses parallèles se
coupent au point H. Montrer que le quadrilatère GEFH est
un rectangle.Ses parallèles se
coupent au point H. Montrer que le quadrilatère GEFH est
un rectangle.
Solution:
La somme des mesures des angles intérieurs d'un
triangle est égale à 108° . Donc
la mesure de l'angle FEG est égale à 180 - (47 + 43) =
90°, c'est à dire que l'angle FEG est droit.
b) GH est parallèle à EF et FH est parallèle à
EG. Donc le quadrilatère GEFH est un parallélogramme car:
un quadrilatère qui a ses côtés opposés parallèles deux à deux est un parallélogramme
.
De plus ce parallélogramme a un angle droit. C'est donc un rectangle car:
Si un parallélogramme possède un angle droit, alors ce parallélogramme est un rectangle.
V.3. Exercice 3
ABCD est un parallélogramme.
a) D'après les informations codées sur la figure,
préciser la nature du quadrilatère ABCD.
Justifier en précisant la propriété utilisés.
b) Le cercle de diamètre [BD] coupe la droite (AC) en
M et N.
Quelle est la nature du quadrilatère NBMD?
Justifir en précisant la propriété utilisée.
Solution:
a) Losange: voir III.3. Propriété 2.
b) Carré: voir IV.3. Propriété 2.
V.4. Exercice 4
ABCD est un parallélogramme de centre O.
M est le milieu de segment [OA]
N est le milieu de segment [OC]
a) Expliquer pourquoi OM = ON.
b) En déduire que le quadrilatère MDNB
est un parallèlogramme.
Solution:
a) ABCD est un parallélogramme. Les diagonales se coupent en
leur milieu. Donc OA = OC.
Par conséquent OA/2 = OC/2.
C'est à dire AM = MO = ON = NC. Ainsi
OM = ON
b) ABCD est un parallélogramme. Les diagonales se coupent en
leur milieu. Donc OB = OD.
Nous avons donc:
OM = ON et OB = OD.
D'après la propriété I.2. Réciproque 1, le quadrilatère MDNB
est un parallèlogramme.
Exercice 5
a) construire un losange ABCD tel que:
AC = 6 cm et BD = 8 cm.
b) Calculer l'aire du losange ABCD.
c) Calculer la hauteur relative au
côté [AB] sachant que AB = 5 cm.
Solution:
b) L'aire du losange ABCD est égale à:
BD x AC/2 = 8 x 6 /2 = 24 cm2.
c) La hauteur "h" relative au
côté [AB] est donnée par:
24 cm2 = AB x h = 5 x h
Donc h = 24/5 = 4.8 cm.
Exercice 6
ABCD est un parallélogramme de centre O, de
base 7 cm et de hauteur 4 cm.
a) Calculer l'aire du parallélogramme ABCD.
On trace une droite quelconque passant par le centre O,
coupant [AD] en I et [BC] en J.
b) Calculer l'aire du quadrilatère IDCJ.
c) Calculer la hauteur h relative au côté BC
si ce côté mesure 5 cm.
Solution:
a) L'aire du parallélogramme ABCD est égale à
4 x 7 = 28 cm2.
b)
Les triangles JOC et IOA sont isométriques
d'après la propriété CAC de l'isométrie des
triangles. Un côté égal compris entre 2
angles (homologues) respectivement égaux.
Revoir cette notion au
Relations entre les triangles.
De même les triangles IOD et JOB sont isométriques.
Ainsi, l'aire du quadrilatère IDCJ est égale à
l'aire du triangle DBC; c'est à dire la moitié
de l'aire du parallélogramme ABCD, 28/2 = 14
cm2 .
c) L'aire du parallélogramme est égale à 28 cm2.
L'aire de ce parallélogramme est égale à BC x h.
Donc BC x h = 28
Ainsi h = 28/5 = 5.6 cm.
Exercice 7
Avec les informations codées sur la figure, calculer
l'aire de chacun des triangles ABC, ACM, et ABN.
Solution:
a) L'aire du triangle ABC est égale à AB x HC /2 = 12 x 8 /2 =
48 cm2.
b) L'aire du triangle ACM est égale à AM x HC /2 = 6 x 8 /2 =
24 cm2.
c) N est le milieu du côté [BC], donc [BC] est
la diagonale d'un parallélogramme. L'aire du triangle
ABC donc égale à la moitié de l'aire de ce parallélogramme.
Ainsi, l'aire du triangle ABN est égale à la moitié de celle
du triangle ABC, c'est à dire 24 cm2.
Exercice 8
ABCD est un rectangle.
ARCS est un rectangle.
Montrer que le quadrilatère DSBR est
aussi un rectangle.
Solution:
On utilise les deux propriétés suivantes:
a) Un rectangle est un parallélogramme
dont les diagonales ont même longueur.
b) Les diagonales du parallélogramme se coupent
en leur milieu.
Donc
1. Pour le rectangle ABCD:
AI = IC = IB = ID
2. Pour le rectangle ARCS:
RI = IS = AI = IC
Ainsi, on a:
AB = ID = RI = IS
Donc les diagonales RS et DB se coupent en
leur milieu.
On utilise la réciproque pour le parallélogramme:
un quadrilatère non croisé
dont les diagonales se coupent
en leur milieu est un parallélogramme.
Ainsi le quadrilatère DSBR est un
parallélogramme.
AB = ID = RI = IS donne RS = DB
On utilise la réciproque pour le rectangle:
un parallélogramme dont les diagonales ont
même lngueur est un rectangle.
Ainsi
le parallélogramme ARCS est un
rectangle.
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