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Maths
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© The scientific sentence. 2010


Mathématiques 2: Cercle, disques et corps ronds




1. Cercle et circonférence



1.1. Definitions

Cercle:

Un cercle est une ligne fermée où tous les points sont à égale distance d’un même point appelé le centre.

Rayon:

Un rayon est le segment qui reliant un point quelconque du cercle au centre du cercle.

Diamètre:

Un diamètre est le segment qui relie deux points du cercle et passant par le centre.

Le diamètre est le double du rayon.

Si d est le diamètre du cercle et r son rayom, alors
d = 2 x r et r = d/2 .

Corde :

Une corde est un segment qui relie deux points quelconques d’un cercle.
Le diamètre est la plus longue corde du cercle.

Arc de cercle:

Un arc de cercle est une portion de cercle délimitée par deux points qui forment une corde.

Angle au centre:

Un Angle au centre est l'angle formé par deux rayons. Le sommet de l’angle correspond donc au centre du cercle.

Relation entre le rayon et le diamètre:

Un diamètre est égal au double du rayon.
D = 2 x R ou R = D/2
D est le diamètre , R est le rayon

Circonférence:

La circonférence est la longueur du contour d’un cercle ou le périmètre d’un cercle.
On calcule la circonférence à partir du diamètre du cercle ou à partir de son rayon.
C = π x D ou C = 2πR
La valeur de π est égale à 3.1416

Cercle passant par trois points non alignés:

Soient 3 points non alignés A, B et C.

On joint les points A et B, puis B et C.

Le point des rencontre des médiatrices des segments construits est le centre du cercle qui passent par les 3 points.

Mesure d’un arc de cercle:

On mesure un arc de cercle de deux façons: a) En degré. Sa mesure est égale à celle de l’angle au centre qui intercepte cet arc.

b) En unités de longueur. On calcule cette mesure à l'aide de la correspondance suivante:

Circonférence du cercle → 360° Longueur de l'arc en unités de longueur → Mesure de l'angle au centre qui intercepte cet arc en °.

Donc:

Longueur de l'arc = (Mesure de l'angle au centre qui intercepte cet arc)x (Circonférence du cercle)/360




2. Disque et secteur


Disque

Un disque est une surface plane délimitée par un cercle. Son aire est égale à πr2.

Aire du disque = πr2



Secteur

Un secteur est une portion de disque délimitée par deux rayons.

Son aire est égale à:

Aire du secteur = (Mesure de l'angle au centre du secteur en°)x (Aire totale du disque)/360°




3. Corps ronds et cylindre




famille des solides
polyèdres
corps ronds
solide limité par des faces planes qui sont des polygones. Solide limité par au moins une face courbe
prismes pyramides cylindre cône sphère



Cylindre droit


L'aire totale d'un cylindre droit est égale à la somme des aires des deux disques (bases) et celle du rectangle (surface latérale).

Son aire est égale à:

Aire totale du cylindre = Aire des deux bases + aire latérale

Aire totale du cylindre =
2 x πr2 + 2 π r x h


r est le rayon h est la hauteur




Cône de révolution


La base d'une pyramide est un polygone. La base d'un cône est un cercle. La pyramide possède un apex, le cône possède un sommet.

Un cône circulaire est un solide délimité par un disque circulaire qui est sa base et une surface conique qui est sa surface latérale.

Dans un cône circulaire droit, la distance entre le sommet et la base est perpendiculaire à cette base et passe par le centre de cette base circulaire. Cette distance est la hauteur du cône.

Un cône circulaire droit est appelé cône de révolution.

Dans un cône circulaire droit, la distance entre le sommet du cône et un point quelconque du cercle est constante et s'appelle l'apothème du cône.

L'aire totale d'un cône de révolution est égale à la somme de l'aire de la base (πr2)et de celle de la surface latérale (π r a).

L'aire totale d'un cône de révolution de rayon de base r, de hauteur h et d'apothème a est égale à :

πr2 + π r a = πr(r + a)

a = √(r2 + h2)

Aire totale du cône de révolution =
πr2 + π r a = πr(r + a)


a = √(r2 + h2)



Sphère


L'aire d'une sphère de rayon r est égale à 4πr2

Aire d'une sphère =
4πr2


r est le rayon de la sphère.



4. Exercices




Exercice 1: Applications

Determiner la circonférence du cercle si;

a) r = 4 cm
b) D = 3 m
c) Un angle au centre de mesure 60° intercepte un arc de 4 cm.

Solution

a) C = 2 π r = 2 x π x 4 = 25.13 cm
b) C = π D = π x 3 m = 9.42 m
c) 60° → 4 cm Donc 360° → 360° x 4 cm /60° = 24 cm.



Exercice 2: Croissant de lune



Un croissant de lune est formé de deux arcs des cercles C1 de centre O et C2 de centre A.

a) Quel est le périmètre du croissant?

b) Quel est l'aire du croissant?

Solution

a) Soient R1 et R2 les rayons des cercles C1 et C2 respectivement.

Nous avons:

R1 = y = 1700 km
R2 = R1 + x = y + x = 1700 + 704.16 = 2404.16 km.

Les circonférences respectives sont :

Γ1 = 2πR1 = 2 x 3.1416 x 1700 = 10681.41 km

Γ2 = 2πR2 = 2 x 3.1416 x 2404.16 = 15105.78 km

L'arc de cercle C1 intercepte un angle plat:

(arc de cercle C1)/Γ1 = 180°/360° = 1/2
(arc de cercle C1) = Γ1/2 = 10681.41/2 = 5340.70 km

L'arc de cercle C2 intercepte un angle droit:

(arc de cercle C2)/Γ2 = 90°/360° = 1/4
(arc de cercle C2)= Γ2/4 = 15105.78/4 = 3776.44 km.

Le périmètre du croissant est égal à : (arc de cercle C1) + (arc de cercle C2) = 5340.70 + 3776.44 = 9117.14 km.

Le périmètre du croissant de lune est égal à 9117.14 km.





b) L'aire du croissant est égale à la différence entre la moitié de l'aire du cercle de rayon R1 et celle de l'aire de la surface plane délimitée par le petit arc BC de cercle de rayon R2.

Soient:

A1 = moitié de l'aire du cercle de rayon R1 = πR12/2

A2 = l'aire de la surface plane délimitée par le petit arc BC de cercle de rayon R2 =
l'aire du secteur BAC - l'aire du triangle ABC.

l'aire du secteur BAC = πR22/4
l'aire du triangle ABC = R12

Donc

A2 = πR22/4 - R12

Ainsi

L'aire du croissant = πR12/2 - (πR22/4 - R12) =
= πR12/2 - πR22/4 + R12
= R12(π/2 + 1) - πR22/4
= (1700)2(π/2 + 1) - π(2404.16)2/4
= 7429601.38 - 4539589.84 = 2 890 011.54 km2

L'aire du croissant est égale à 2 890 011 km2 .

Soit à peu près 30% de la superficie du territoire canadien, qui vaut 9 984 670 km2.



Exercice 3: Une coccinelle

Voici une voiture du type "coccinelle" qui roule et qui fait des roulades:


Cette voiture roule sur une certaine distance, ensuite lorsque le contact au point A touche le sol, la voiture fait une roulade sur une deuxième distance.

Quel est le nombre minimal de tours que doit effectuer une roue de l'automobile si la voiture parcourt une distance de 9 m en effectuant une seule roulade (une seule rotation du conducteur sur lui même)?

Solution

La voiture s'est déplacé d'une distance d = 9 m pendant qu'un point (P) sur la voiture effectue une seule rotation autour du centre O (une seule roulade).

Le long du trajet de cette distance d = 9 m:
- La roulade s'est effectuée sur une distance d1, et
- Les quatre roues ont roulé pendant une distance d2.

Ainsi d = d1 + d2

C1 est la circonférence de la voiture:
C1 = 2πR = 2 x 3.1416 x 1.2 m = 7.54 m

C2 est la circonférence d'une roue:
C2 = 2πr = 2 x 3.1416 x 0.3 m = 1.88 m

La distance d1 est égale à la longueur de l'arc APB.

Calcul de d1:

255°/360° = arc(APB)/C1 = arc(APB)/7.54

Donc d1 = arc(APB) = 7.54 x (255/360) m = 5.34 m

Calcul de d2:

Il reste donc la distance d2 = d - d1 = 9 m - 5.34 m = 3.66 m qui est la distance au cours de laquelle les quatres roues ont roulé.

Si une roue (ou quatre) effectue une rotation complète , elle a roulé C2 = 1.88 m.

Comme elle a roulé 3.66 m, elle doit donc effectuer 3.66/1.88 = 1.94 tours ≈ 2 tours .

La roue (ou quatre) de la coccinelle doit donc effectuer un minimum de deux tours pour que la voiture se déplace d'une distance de 9 m.



Exercice 4: Disque de fruits et légumes



Le rayon de ce disque de fruits et légumes est égal à 3 mètres.

a) Quel est le diamètre du disque?
b) Quelle est la circonférence du disque?
c) Quel est le nombre de secteurs dans le disque?
d) Quel est la mesure de l'angle au centre de chaque secteur?
e) Quel est la mesure des angles des triangles formés par les secteurs?
f) Quelle est la nature des triangles formés?
g) Quelle est la longueur de l'arc intercepté par chaque secteur?
h) Quelle est l'aire du disque?
i) Quelle est l'aire de la surface occupée par les nectarines, si elles représenten 30% du secteur où elles se trouvent?
j) Quelle est le pourcentage en surface, par rapport au disque entier, occupée par les nectarines, si elles occupent 30% du secteur où elles se trouvent?



Exercice 5: Zone entre trois cercles tangents


Trois cercles de même rayon sont tangents entre eux.

On s'interesse à la zone délimitée par les trois petits arcs de cercles interceptés par les angles au centres A, B et C.

Calculer le périmètre et l'aire de cette zone.


Solution

5.1. Rappels sur un triangle équilatéral


1. Définition du triangle équilatéral

Un triangle équilatéral est un polygone régulier dont les trois côtés ont même longueur.

1. Propriétés du triangle équilatéral

1. Dans un triangle équilatéral, la médiane, la hauteur, la bissectrice issues d'un sommet et la médiatrice du côté opposé sont confondues.

2. Dans un triangle équilatéral, l'orthocentre, le centre de gravité, le centre du cercle circonscrit et le centre du cercle inscrit sont confondus.

3. Dans un triangle équilatéral, les angles ont même mesure qui est égale à 60°.



5.2. Calcul du périmètre

Les trois cercles ont tous le même rayon, donc AB = BC = CA. Par conséquent, le triangle ABC est équilatéral. Ainsi les angles A, B et C ont même mesure, c'est à dire 60°

Le théorème de Pythagore permet d'ecrire:

h2 + r2 = (2r)2
h2 + r2 = 4 r2
h2 = 3 r2
h = r √3

La mesure x du petit arc intercepté par l'angle au centre A est donnée par la proportion suivante:

x/2πr = 60°/360° = 1/6

Ainsi x = 2πr/6 = πr/3

La figure géométrique est symétrique, on aura donc la même mesure pour les deux autres arc de cercles interceptés par les angles au centres B et C.

Il vient donc

le périmètre de la zone délimitée par les trois petits arcs de cercles est égale à

P = 3 x πr/3 = πr

Périmètre = πr



5.3. Calcul de l'aire

L'aire de la zone délimitée par les trois petits arcs de cercles est égale à la différence entre l'aire du triangle et celle des trois secteurs.


l'aire du triangle ABC est égale à

(base x hauteur) /2 = (2r x r √3)/2 = r2 √3

L'aire du triangle ABC est égale à r2√3.

l'aire y du secteur d'angle au centre A est donnée par la formule de la proportion suivante:

60°/360° = 1/6 = y/πr2

y = πr2/6

La figure géométrique est symétrique, on aura donc la même aire pour les deux autres secteurs d'angles au centres B et C.
Ainsi l'aire totale des trois secteurs est:

A = 3 x y = 3 x (πr2/6) = πr2/2

Il vient donc

L'aire de la zone délimitée par les trois petits arcs de cercles est égale à

r2 √3 - πr2/2 =
r2 (√3 - π/2)

Aire = (√3 - π/2)r2


Application numérique:

r = 1 dm. Donc

Périmètre = πr = 3.1416 x 10 cm = 31.42 cm.
Aire = (√3 - π/2) x (1)2 =
(1.73 - 1.57) = 0.16 dm2 = 16.0 cm2.



Exercice 6: L'arche




Une arche AD est formée de trois arcs de cercle AN, NM, et MD où les cercles de centre B et C ont même rayon.

Quelle est la longueur de cette arche?

Solution

Le rayon du cercle de centre B est égal au rayon du cercle de centre C, donc

AB = BC = CD = BP = BN = CP = CM

AB = BC = CD = BP = BN = CP = CM = r

Par conséquent le triangle BPC est équilatéral.

On a donc: mes(B)= mes(c) = mes (P) = 60°

L'angle au centre C intercepte l'arc MB, donc:

mes(C)/mes(angle plein) = 60°/360° =
(mes de l'arc MD)/2πr

mes de l'arc MD = 2πr x 1/6 = πr/3

Par symetrie, on a

mes de l'arc AN = πr/3

L'arc NM est intercepté par l'angle au centre NPM où le point P est le centre du cercle de rayoun égal à 2r.

Ainsi

mes(P)/mes(angle plein) = 60°/360° =
(mes de l'arc MN)/2π(2r)

Donc

mes de l'arc MN = 2π(2r) x 1/6 = 2πr/3

mes de l'arc MN = 2πr/3

C'est le double de la mesure précédente de l'arc MD (= AN).

Ainsi

la mesure de l'arche est égale à

mes de l'arc AN + mes de l'arc NM + mes de l'arc MD =
πr/3 + 2πr/3 + πr/3 = 4πr/3

La mesure de l'arche est égale à 4πr/3.


Application numérique:

Si AD = 6 m, alors r = 2 m , et donc

La mesure de l'arche = 4 x π x 2 /3 = 8.38 m.



Exercice 7: Tige tournante



Une tige de longueur AC = BD = l = 2.4 m tourne d'un arc AB = 1.3 m autour du point O situé à 30% de la longueur l du point A.

Quelle est la longueur de l'arc CD parcouru par l'autre extrémité de la tige?



Solution

OA = OB = 30% x l = (30/100) x 2.4 = 0.72 m.

OC = OD = 70% x l = (70/100) x 2.4 = 1.68 m.

AB/(2π OA) = θ/360°

θ = 360 x 1.3/(2π x 0.72) = 103.45°

θ = 103.45°

CD/(2π OC) = θ/360° = 103.45°/360°

CD = 2π x OC x 103.45°/360°

= 2π x 1.68 x 103.45/360 = 3.03 m

l'arc CD mesure 3.03 m


Calcul rapide

CD/(2π OC) = θ/360° = AB/(2π OA) . Donc
CD = (2π OC) x AB/(2π OA) = (OC) x AB/(OA) =
AB (OC/OA) = 1.3 x 70/30 = 1.3 x 7/3 = 3.03 m

La donnée de la longueur l = 2.4 m n'est pas pertinente.






  


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