Maths
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© The scientific sentence. 2010
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Mathématiques 2: Les nombres rationnels ℚ
1. Nombres rationnels
1.1 Définition
un nombre rationnel est un nombre
qui peut s’écrire sous la forme d’une fraction. Une
fraction contient un numérateur et un dénominateur
entiers.
1.2. Exemples:
3/7, 12/55, et 10/11
sont des nombres rationnels.
0.5 = 5/10, 4.5 = 45/10, - 0.0077 = - 77/10 000, - 23,35 = - 2335/100
sont des nombres rationnels.
6 = 6/1, 45 = 45/1, - 12 = - 12/1
sont des nombres rationnels.
√25 = 5, √1 = 1, √81 = 9
sont des nombres rationnels.
Un nombre décimal périodique est un nombre rationnel :
_ __
1/3 = 0.3, 0.57 sont des nombres rationnels.
2. Nombres irrationnels Q’ :
2.1. Définition
Un nombre irrationnel est un nombre
qui ne peut pas s’écrire sous la forme d’une
fraction avec un numérateur et un dénominateur
entiers.
2.2. Exemples
√2, π, ∛25,
sont des nombres irrationnels.
3. Nombres réels
N : ensemble des nombres naturels.
N = {0, 1, 2, 3, …}
Z : Ensemble des nombres entiers :
ensemble des
nombres naturels et leur opposés.
Z = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …}
Q : Ensemble des nombres rationnels :
ensemble des
nombres qui peuvent s’écrire sous la forme d’une fraction
de numérateur et un dénominateur entiers.
Q' : Ensemble des nombres irrationnels :
ensemble des
nombres qui ne peuvent pas s’écrire sous la forme d’une fraction
de numérateur et un dénominateur entiers.
R : Ensemble des nombres réels :
ensemble des
nombres rationnels et irrationnels.
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Mathématiques 2: Les nombres périodiques
1. Définition
Un nombre est périodique ou cyclique lorsqu'il est
composé d'une suite répétitive de nombres naturels.
2 Exemples
Le nombre 33333333333 est périodique.
Sa période est égale à 3.
72727272 est périodique.
Sa période est égale à 72.
457 457 457 457 est périodique.
Sa période est égale à 457.
0.3333333333 est périodique.
Sa période est égale à 3.
2/11 = 0.18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 ...
est périodique.
Sa période est égale à 18.
5/7 = 0.714285 714285 714285 714285 714285 ...
est périodique.
Sa période est égale à 714285.
π = 3.141592653589793238
n'est pas périodique.
√3 = 1.73205080756887729...
n'est pas périodique.
√213 = 14.594519519326424 ...
n'est pas périodique.
2. Conversion d’un nombre décimal
périodique en fraction
2.1 Exemples
Exemple 1:
0,3333... : nombre périodique de période 3.
Le nombre est N = 0,333…
On le multplie par 10 = 101 parce que sa période
contient 1 chiffre:
10 N = 3,333...
On soustrait n de 10 N, on obtient:
10 N - N = 3,333 - 0.333 = 3
9 N = 3
Ainsi N = 3/9 = 1/3.
Exemple 2:
0,232323... : nombre périodique de période 23.
Le nombre est N = 0,232323...
On le multplie par 100 = 102 parce
que sa période contient 2 chiffres.
100 N = 23.2323...
On soustrait n de 100 N, on btient:
100 N - N = 23.2323... - 0,232323... = 23
99 N = 23
Ainsi N = 23/99
Exemple 3:
Il faut s'assurer que la période
commence après la virgule. Lorsque ce n'est pas
le cas, il faut transformer le nombre pour qu'il
soit ainsi:
Le nombre N = 0.4676767... est de période 67. Il
contient une partie fixe qui est le nombre 4.
On doit multiplier le nombre N par 10, le transformer
en fraction, puis ensuite le diviser par 10. Ainsi :
N' = 10 N = 4.676767...
4.676767... = 4 + 0.676767...
0.676767... = 67/99
Donc N' = 4 + 67/99 = 396/99 + 67/99 = 463/99
Ainsi
N = 463/99 ÷ 10 = 463/990
2.2. Procédure:
Soit N un nombre décimal périodique de période p.
Ce nombre peut donc s'ecrire:
N = x.ppppp... = x.p̄ (1)
x est la partie entière de N.p̄ est sa partie décimale
contenant une intinité de nombres (périodes) p.
Si p comporte m chiffres, alors
10m N = xp.ppppp... = xp.p̄ (2)
Soustrayons (1) de (2), on obtient:
10m N - N = xp.p̄ - x.p̄
ou
(10m - 1)N = xp.p̄ - x.p̄ = xp - x
Ainsi N = (xp - x)/(10m - 1) = x + p/(10m - 1)
Si
N = x.p̄
, avec m chiffres dans p:
N = x + p/(10m - 1)
Si le nombre contient une partie fixe,
il faut le multiplier par une puissance de 10
de telle sorte que la période commence après
la virgule.
Exemple 1:
N = 5.789 789 789 ...
= 5 + 789/(103 - 1) =
5 + 789/999 = 5784/999.
Exemple 2:
N = 5.44 789 789 789 ...
N' = 100 N = 544. 789 789 789 ... =
544 + 789/(103 - 1) =
544 + 789/999 = 544245/999.
N = 544245/99900.
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