Mathématiques 2: Triangles semblables
Les figures géométriques sont congruentes ou isométriques
si elles ont la même taille et la même forme. Dans cette section,
nous étudierons les figures géométriques qui ont la même forme,
mais pas nécessairement de la même taille. Ces figures
géométriques sont appelés figures semblables ou
similaires.
L'utilisation des triangles semblables a
rendu possible les mesures des hauteurs et
des distances inaccessibles.
1. Figures semblables
Deux figures sont semblables si l'une est un agrandissement,
une réduction ou la reproduction exacte de l'autre.
Dans deux figures semblables, les angles
homologues
sont isométriques et les mesures des côtés homologues sont
proportionnelles.
Le rapport de similitude est égal au rapport de la mesure d'un côté de la figure image et de la mesure d'un côté de la figure initiale
Rapport de similitude = (mesure d'un côté de la figure image)/(mesure d'un côté de la figure initiale)
2. Triangles semblables
Deux triangles sont semblables si:
(i) leurs angles homologues sont isométriques (ou)
(ii) leurs côtés homologues sont proportionnels.
Ainsi, deux triangles ΔABC et ΔA'B'C'
sont semblables (similaires) si:
(i) ∠A = ∠A' ∠B = ∠B' ∠C = ∠C' (ou)
(ii) A'B'/AB = B'C'/BC = C'A'/CA
Les sommets A, B et C correspondent aux sommets
A', B' et C' respectivement.
Symboliquement, nous écrivons la similitude
de ces deux triangles comme ΔABC ∼ ΔDEF
et on lit: ΔABC est semblable au ΔA'B'C'.
Le symbole ∼ signifie semblable à.
3. Critères de similitude des triangles
Il y a trois critères qui sont suffisants pour
prouver que deux triangles sont semblables:
(i) Critère de similitude AA (Angle-Angle):
Si deux angles d'un triangle sont respectivement
égaux à deux angles de l'autre triangle,
alors ces deux triangles sont semblables.
Remarque:
Si deux angles d'un triangle sont
respectivement égaux à deux angles d'un
autre triangle leurs troisièmes angles
seront aussi égaux. Ainsi, le critère de similarité
AA est aussi appelé critères AAA.
(ii) Critère de similarité CAC(Côté-Angle-Côté):
Si une angle d'un triangle est isométrique à un angle
d'un autre triangle et si les côtés correspondants
de ces angles sont proportionnels, alors les deux
triangles sont semblables.
(iii) Critère de similarité CCC (Côté-Côté-Côté):
Si les côtés d'un triangle sont proportionnelles
(dans le même rapport) aux côtés de l'autre triangle,
donc leurs angles homolgues sont isométriques;
ainsi les deux triangles sont semblables.
4. Applications
4.1. Hauteur de la pyramide
On cherche la hauteur AB de la pyramide.
L'ombre de la pyramide est égale
au côté BE du triangle ABE.
On plante verticalement une tige CD. Son
ombre est le côté CE du triangle CDE.
On les dimensions suivantes:
BE = 200 m
CD = 1.75 m
CE = 2.5 m
On démontre d'abord que les triangles
ABE et DCE son semmblables.
Soit AB et ED les hauteurs de la pyramide et
de la tige respectivement. Soit E le point de
rencontre des deux ombres.
∠ABE = ∠DCE = 90°
∠AEB = ∠DEC
Donc
Δ ABE ∼ Δ DEC (Critère de similitude AA)
Ainsi
EC/EB = DC/AB (côtés homologues proportionnells)
Il vient:
AB = EB x DC/EC
AB = EB x DC/EC = 200 x 1.75/2.5 = 140.00 m
La hauteur de la pyramide est de 140 mètres.
4.2. Largeur d'une rivière
On cherche la largeur AB. On marque deux droites
parallèles DB et EC. Par la vue on aligne les points
A, B et C d'une part et A, D et E d'autre part.
Dans
la rive où on se place on connait les mesures des
segments [B,C] , [B,D] et [C,E] , ce qui
nous permet de calculer AB à partir des rapports
de similitude AB/AC = BD/CE.
Comme AC = AB + BC, donc
AB = BC x BD/(CE - BD)
AB = BC x BD/(CE - BD)
BC = 33 m, CE = 20 m, BD = 8 m
AB = 33 x 8/(20 - 8) = 33 x 2/3 = 22 m
La largeur de la rivière est de 22 mètres.
4.3. Profondeur d'un puits
On peut utiliser les rapports de similitude
pour mesurer la profindeur d'un puit.
Une personne mesurant 1.70 m de long
se place à 1 m du bord du puits de 1,50 m
de diamètre et regarde le coin au fond
du puits.
Cette situation permet de calculer la
profondeur du puits:
y = hd/x
4.4. Hauteur d'un arbre avec un miroir
Une personne de 1.75 m de long voit le sommet d'un arbre
dans un miroir placé sur le sol à 0.50 m de son
pieds et à une distance de 50.00 m du pieds de l'arbre.
La personne et l'arbre sont debout perpendiculaires
au sol. Le pied de la personne, le miroir et le pied de l'arbre
sont alignés, c'est à dire qu'ils se trouvent le long
d'une ligne droite.
Quelle est la hauteur de l'arbre?
Solution
On démontre d'abord que les triangles
son semmblables.
Soit AB et ED les hauteurs de la personne et
de l'arbre respectivement. Soit C le point sur
le miroir où on voit le sommet de l'arbre.
∠ABC = ∠EDC = 90°
∠BCA = ∠DCE
Donc
Δ ABC ∼ Δ EDC (Critère de similitude AA)
Ainsi
ED/AB = DC/BC (côtés homologues proportionnells)
Il vient:
ED = AB x DC/BC
ED = AB x DC/BC = 1.75 x 50/0.5 = 175.00 m
La hauteur de l'arbre est de 175 mètres.
5.5. Hauteur d'un palmier avec caméra
L'image d'un palmier sur le film d'une caméra
est de longueur 33 mm, la distance entre la lentille de
l'objectif et le film est de 43 mm et la distance
entre l'objectif et le palmier est de 5.50 m.
Quelle est la hauteur du palmier photographié?
Solution
Soit DE et AB les hauteurs de l'arbre et de
son image sur le film, respectivement.
Le point C désigne la lentille de l'objectif.
Le distances CN et CM representent les hauteurs
des triangles ABC et DEC. M est le milieu du côté
DE et N le milieu du côté AB. AB est parallèel à DE.
Les triangles ANC et EMC sont semblables.
On peut donc ecrire:
CN/CM = AN/EM = 2AN/2EM = AB/DE
Donc DE = AB x CM/CN
DE = 0.033 x 5.5/0.043 = m
La hauteur du palmier est
de 4.22 m.
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